线段树与树状数组的对比应用

Posted 2020-12-05 --lr

线段树构造

因为树状数组不需要构造这一过程，所以先讲线段树的构造

就是用到递归：先设left=1,right=n，然后每一次递归，left、mid和mid+1、right。代码如下：

    void build(int left,int right,int index)
    {
        tree[index].left=left;
        tree[index].right=right;
           if(left==right)
            return ;
        int mid=(right+left)/2;
        build(left,mid,index*2);
        build(mid+1,right,index*2+1);
    }

``

线段树单点修改

单点修改就是每到一个节点，看这个节点代表着的区间包括不包括这个点，包括就加上。

    void my_plus(int index,int dis,int k)
    {
        tree[index].num+=k;
        if(tree[index].left==tree[index].right)
            return ;
        if(dis<=tree[index*2].right)
            my_plus(index*2,dis,k);
        if(dis>=tree[index*2+1].left)
            my_plus(index*2+1,dis,k);
    }

树状数组单点修改

这里有一个很关键的东西，叫做lowbit，lowbit是将一个二进制数的所有高位一都去掉，只留下最低位的1，比如lowbit（5）=lowbit（0101（二进制））=0001（二进制）

而如果改变x的值，就要加上自己的lowbit，一直加到n，这些节点都要加，比如一共有8个数第3个数要加上k，那么c[0011]+=k;

c[0011+0001] (c[0100])+=k;

c[0100+0100] (c[1000])+=k;

这样就能维护树状数组

    void add(int x,int k)
    {
        while(x<=n)
        {
            tree[x]+=k;
            x+=lowbit(x);
        }
    }

线段树区间查询

区间查询就是，每查到一个区间，有三种选择：

1、如果这个区间被完全包括在目标区间内，那么加上这个区间的和，然后return；

2、如果这个区间的right>目标区间的left，那么查询这个区间；

3、如果这个区间的left<目标区间的right，也查询这个区间;

    void search(int index,int l,int r)
    {
        if(tree[index].left>=l && tree[index].right<=r)
        {
            ans+=tree[index].num;
            return ;
        }
        if(tree[index*2].right>=l)
            search(index*2,l,r);
        if(tree[index*2+1].left<=r)
            search(index*2+1,l,r);
    }

树状数组区间查询

就是前缀和，比如查询x到y区间的和，那么就将从1到y的和-从1到x的和。

从1到y的和求法是，将y转为2进制，然后一直减去lowbit(y)，一直到0

比如求1到7的和

ans+=c[0111];
ans+=c[0111-0001(0110)];
ans+=c[0110-0010(0100)];
ans+=c[0100-0100(c[0]无意义，结束)]
    int sum(int x)
    {
        int ans=0;
        while(x!=0)
        {
            ans+=tree[x];
            x-=lowbit(x);
        }
        return ans;
    }

线段树区间修改

和线段树区间查询类似，分为三种

1、如果当前区间完全属于要加的区间，那么这个区间，也就是节点加上，然后return；

2、如果这个区间的right>目标区间的left，那么查询这个区间；

3、如果这个区间的left<目标区间的right，也查询这个区间;

    void pls(int index,int l,int r,int k)
    {
        if(tree[index].left>=l && tree[index].right<=r)
        {
            tree[index].num+=k;
            return ;
        }
        if(tree[index*2].right>=l)
           pls(index*2,l,r,k);
        if(tree[index*2+1].left<=r)
           pls(index*2+1,l,r,k);
    }

树状数组区间修改

这就会变的很好玩。如果将x到y区间加上一个k，那就是从x到n都加上一个k，再从y+1到n加上一个-k

加的移动还是i+=lowbit(i);

    void add(int x,int k)
    {
        while(x<=n)
        {
            tree[x]+=k;
            x+=lowbit(x);
        }
    }

线段树单点查询

就是从根节点，一直搜索到目标节点，然后一路上都加上就好了。

    void search(int index,int dis)
    {
        ans+=tree[index].num;
        if(tree[index].left==tree[index].right)
            return ;
        if(dis<=tree[index*2].right)
            search(index*2,dis);
        if(dis>=tree[index*2+1].left)
            search(index*2+1,dis);
    }

树状数组单点查询

从x点，一直x-=lowbit(x)，沿途都加上就好啦

    int search(int x)
    {
        int ans=0;
        while(x!=0)
        {
            ans+=tree[x];
            x-=lowbit(x);
        }
        return ans;
    }