树状数组

Posted 2020-12-05 --lr

核心思想：

　　　　(1)树状数组中的每个元素是原数组中一个或者多个连续元素的和。

　　　　(2)在进行连续求和操作a[1]+...+a[n]时，只需要将树状数组中某几个元素的和即可。时间复杂度为O(lgn)

　　　　(3)在进行修改某个元素a[i]时，只需要修改树状数组中某几个元素的和即可。时间复杂度为O(lgn)

　　下图就是一个树状数组的示意图：

　　解释如下：

　　1)　a[]: 保存原始数据的数组。(操作(1)求其中连续多个数的和，操作(2)任意修改其中一个元素)

　　　　e[]: 树状数组，其中的任意一个元素e[i]可能是一个或者多个a数组中元素的和。如e[2]=a[1]+a[2]; e[3]=a[3]; e[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]。 

　　2） e[i]是几个a数组中的元素的和？

　　　　如果数字 i 的二进制表示中末尾有k个连续的0，则e[i]是a数组中2^k个元素的和，则e[i]=a[i-2^k+1]+a[i-2^k+2]+...+a[i-1]+a[i]。

　　　　如：4=100(2)　　e[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4];

　　　　　　6=110(2)　　e[6]=a[5]+a[6]

　　　　　　7=111(2)　　e[7]=a[7]

　　3)　后继：可以理解为节点的父亲节点。是离它最近的，且编号末位连续0比它多的就是它的父亲,如e[2]是e[1]的后继；e[4]是e[2]的后继。

　　　　　　如e[4] = e[2]+e[3]+a[4] = a[1]+a[2]+a[3]+a[4] ，e[2]、e[3]的后继就是e[4]。

　　　　　　后继主要是用来计算e数组，将当前已经计算出的e[i]添加到他们后继中。

　　　　前驱：节点前驱的编号即为比自己小的，最近的，最末连续0比自己多的节点。如e[7]的前驱是e[6],e[6]的前驱是e[4]。

 　　　　　  前驱主要是在计算连续和时，避免重复添加元素。

　　　　　　如：Sum(7)=a[1]+...+a[7]=e[7]+e[6]+e[4]。(e[7]的前驱是e[6], e[6]的前驱是e[4])

　　　　计算前驱与后继：

　　　　　　lowbit(i) = ( (i-1) ^ i) & i ;

　　　　　　节点e[i]的前驱为 e[ i - lowbit(i) ]；

　　　　　　节点e[i]的前驱为 e[ i + lowbit(i) ]