图论学习十之Sparse table

Posted 2020-12-05 mary-sue

ST表

　　　　　　　无修改区间最值询问问题

 

• 给出一个数组a[1..N]

• Q个询问，每次询问每次询问区间[x,y]最大值。

• N,Q <= 100000

　

　　　　　　　　St表的递推

• 用st[k][i]表示从i开始连续2^k个元素的最值。

• 得出递推式

　　• st[k+1][i]=max(st[k][i], st[k][i+2^k]);（假设求最大值）

 

• 从小到大枚举k，再枚举i。

• 那么预处理出上面这个数组的复杂度为O(nlogn) 。

 

 

　　　　　　　　询问操作

• 找出最大的k使得 2^k<=y-x+1

• 注意到[x,x+2^k-1], [y-2^k+1,y]两个子区间覆盖原区间[x,y]

• 那么答案就是max(st[k][x], st[k][y-(2^k)+1]).

•  k= log₂ (y-x+1) 向下取整

• 小技巧：内建函数计算log
　　• #define log(x) (31-__builtin_clz(x))

 

• 有用的性质
　　• 求多个数最大值时，同一个值重复出现多次和出现次效果是相同的

 

• St表主要运用于在没有修改的情况需要能快速求解区间最值的情况。

 

 

　　　　　　　　Sparse table 时间复杂度

• 预处理： O(nlogn)

• 每次询问： O(1)

 

 

　　　　　　　　LCA

• 给定一棵树。

• Q个询问，每次询问某两个点(x,y)的最近公共祖先

 

• 考虑两个相同深度的节点的lca

• 如果同时往上走k步到达相同节点，则往上走k+1步仍然相同

• for(int k=20;k>=0;k--)

　　• if (st[x][k] != st[y][k]) x = st[x][k], y=st[y][k];

• lca=fa[x]=fa[y];

 

• 对于深度不同的节点，可先将深度大的往上走到深度相同

• 小技巧：内建函数计算log

　　• #define log(x) (31-__builtin_clz(x))

• If (dep[x]<dep[y]) swap(x,y);

• while (dep[x] > dep[y])      x = st[x][log(dep[x]-dep[y])];