RL系列蒙特卡罗方法——Soap Bubble

Posted 2020-12-05 jinyublog

“肥皂泡”问题大致的描述如下：

用一个铁丝首尾相连组成闭合曲线，浸入肥皂泡液，拿起后，可以发现肥皂泡液以这个闭合曲线为边界形成了一个曲面。如何将这个曲面描述出来，便是肥皂泡问题的核心。

若想使得肥皂泡液形成一个稳固的曲面，肥皂泡上的每一个点所受到的合力均为0，所以这意味着该点所处的位置是周边所有点位置的均值（在这里忽略重力的影响，肥皂泡的密度量级与空气相当）。所以在计算曲面时，可以先将闭合曲线投影到x-y平面上，然后用一个点的高度（坐标z）来表示曲面上该点周边所有点位置的均值（该点位置的x，y值是不变的）。

常用的方法是迭代法，依次迭代求解投影到x-y平面上的闭合曲线包围的点的高度值。不过当计算某一个或某几个点的高度时可以使用Monte Carlo Method提高计算效率。

先来尝试一下迭代法求解，这里直接给出算法流程：

1. 投影闭合曲线到x-y平面
2. 从闭合曲线内的第一个点开始迭代
3. 当前被迭代的点在x-y平面上的位置为(x, y)，则高度hight，$ H(x, y) $可用该公式计算：$$ H(x, y) = frac{1}{4}(H(x + 1, y) + H(x - 1, y) + H(x, y + 1) + H(x, y - 1)) $$
4. 到达闭合曲线内的最后一个点，判断高度$ H $是否收敛，如未收敛继续迭代。