[Atcoder Grand 006 C] Rabbit Exercise 解题报告 (期望DP)

Posted 2020-12-05 xxzh

题目链接：https://www.luogu.org/recordnew/show/8712459

　　　　　https://agc006.contest.atcoder.jp/tasks/agc006_c

题目描述

NN 匹のうさぎがいます。 うさぎ達は 11 から NN まで番号が振られています。 最初、うさぎ ii は数直線上の座標 x_ixi? にいます。

うさぎ達は体操をすることにしました。 11 セット分の体操は、次のような合計 MM 回のジャンプからなります。 jj 回目のジャンプでは、うさぎ a_jaj? ( 2 leq a_j leq N-12 ≤ aj? ≤ N−1 ) がジャンプします。 このとき、うさぎ a_j-1aj?−1 かうさぎ a_j+1aj?+1 のどちらかが等確率で選ばれ（これをうさぎ xx とします）、うさぎ a_jaj? はうさぎ xx に関して対称な座標へジャンプします。

以上の合計 MM 回のジャンプを 11 セット分の体操として、うさぎ達は KK セット分の体操を続けて繰り返します。 各うさぎについて、最終的な座標の期待値を求めてください。

输入格式：

The input is given from Standard Input in the following format:

  $ N $  
  $ x_1 $     $ x_2 $     $ ... $     $ x_N $  
  $ M $       $ K $  
  $ a_1 $     $ a_2 $     $ ... $     $ a_M $  

输出格式：

Print N lines. The i -th line should contain the expected value of the coordinate of the eventual position of rabbit i after K sets are performed.

The output is considered correct if the absolute or relative error is at most 10−9 .

输入输出样例

输入样例#1： 

3
-1 0 2
1 1
2

输出样例#1： 

-1.0
1.0
2.0

输入样例#2： 

3
1 -1 1
2 2
2 2

输出样例#2： 

1.0
-1.0
1.0

输入样例#3： 

5
0 1 3 6 10
3 10
2 3 4

输出样例#3： 

0.0
3.0
7.0
8.0
10.0

输入样例#4： 

3
-1 0 2
1 1
2

输出样例#4： 

-1.0
1.0
2.0

输入样例#5： 

3
1 -1 1
2 2
2 2

输出样例#5： 

1.0
-1.0
1.0

输入样例#6： 

5
0 1 3 6 10
3 10
2 3 4

输出样例#6： 

0.0
3.0
7.0
8.0
10.0

制約

• 3 ≤ N ≤ 105
• xi? は整数である。
• ∣xi?∣ ≤ 10^9
•  ≤ M ≤ 105
• 2 ≤ aj? ≤ N−1
• 1 ≤ K ≤ 10^18

Problem Statement

There are N rabbits on a number line. The rabbits are conveniently numbered 11 through N . The coordinate of the initial position of rabbit i is xi? .

The rabbits will now take exercise on the number line, by performing sets described below. A set consists of Mjumps. The j -th jump of a set is performed by rabbit aj? ( 2 ≤ aj? ≤ N−1 ).

For this jump, either rabbit aj?−1 or rabbit aj?+1 is chosen with equal probability (let the chosen rabbit be rabbit x ), then rabbit aj? will jump to the symmetric point of its current position with respect to rabbit x .

The rabbits will perform K sets in succession. For each rabbit, find the expected value of the coordinate of its eventual position after K sets are performed.

Constraints

• 3 ≤ N ≤ 105
• xi? is an integer.
• ∣xi?∣ ≤ 10^9
• 1 ≤ M ≤ 10^5
• 2 ≤ aj? ≤ N−1
• 1 ≤ K ≤ 10^18

Sample Explanation 1

うさぎ 2 がジャンプします。うさぎ 11 に関して対称な座標へジャンプすると、座標 −2 へ移動します。 うさぎ 33 に関して対称な座標へジャンプすると、座標 4 へ移動します。

よって、うさぎ 2 の最終的な座標の期待値は 0.5×(−2)+0.5×4=1.0 です。

Sample Explanation 2

x_ixi? は相異なるとは限りません。

Sample Explanation 4

Rabbit 22 will perform the jump. If rabbit 1 is chosen, the coordinate of the destination will be −2 . If rabbit 3 is chosen, the coordinate of the destination will be 4 . Thus, the expected value of the coordinate of the eventual position of rabbit 2 is 0.5×(−2)+0.5×4=1.0 .

Sample Explanation 5

xi? may not be distinct.

 

中文描述：

??只兔子排成了一行, 第??只兔子的初始位置为????.

兔子要进行锻炼, 每一轮包含??次跳跃, 第??次是兔子 ????(2≤????≤??−1)进行跳跃, 它会等概率的选择第????−1 或第????+1只兔子 (假设为??), 然后跳到当前位置关于??的 对称点上.

这??次跳跃重复进行了??轮, 求最终每只兔子坐标的期望.

 

解题方法：

第??只兔子跳过第??只兔子之后坐标变为2∗??_??−??_??, 是线性的.

所以设????为第??只兔子位置的期望, 这个式子也成立.

进行完一次跳跃后,????变成了1/2(2??_??−1-x_i-1)+1/2(2??_??+1−??_??)=??_??−1+??_??+1−??_??.

设s??=??_??+1−??_??, 那么进行一次跳跃相当于交换s_??和 s_??-1.

??_??−1 x_i ??_??+1 -> ??_??−1 ??_??−1+x_i+1-x_i x_i+1

s数组: x_i-x_i-1 x_i+1-x_i-> x_i+1-x_i x_i-x_i-1

我们先手动做一轮，得到交换后对应的位置。考虑dfs一遍找到形成的交换环，对每只兔子在它的环上走k步，最后再把差分的值加上就好.

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define ll long long
using namespace std;

const int maxn=1e5+15;
ll n,m,k,cnt;
ll vis[maxn],s[maxn],x[maxn],num[maxn],be[maxn],p[maxn],a[maxn];
vector <ll> q[maxn];
void dfs(ll x,ll dep)//找环 
{
    num[x]=dep;vis[x]=1;be[x]=cnt;
    q[cnt].push_back(x);
    if (!vis[p[x]]) dfs(p[x],dep+1);
}
int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",x+i);
    for (int i=1;i<n;i++) s[i]=x[i+1]-x[i];//差分序列 
    scanf("%lld%lld",&m,&k);
    for (int i=1;i<n;i++) p[i]=i;
    for (int i=1;i<=m;i++) {scanf("%lld",a+i);swap(p[a[i]],p[a[i]-1]);}//一次置换的结果，记录下一次置换兔子到哪了 
    for (int i=1;i<n;i++) if (!vis[i]) {dfs(i,0);++cnt;}
    ll now=x[1];
    printf("%lld
",now);
    for (int i=1;i<n;i++)
    {
        now+=s[q[be[i]][(num[i]+k)%q[be[i]].size()]];
        printf("%lld
",now);
    }
    return 0;
}