隐函数存在定理1的几何解释

Posted 2020-12-05

在这里首先感谢知乎大神费多西先生 使用作图的方式，让我能对这个抽象的概念进行深刻的理解，解决了我一早上的困惑；再次感谢；

首先来列出隐函数存在定理概念：

首先，我们知道z = F(x,y)描述的是一个空间曲面；定理中描述的F（x,y) = 0 描述的是一种什么情况呢，我们来看图：

F（x,y) = 0 描述的是用平行于平面xOy的，高度为0的平面，截取空间曲面形成一个平面图形；

接下来看一下关于F（x,y)关于x的偏导数的几何意义：

F（x,y)关于X的偏导数的空间几何意义: 首先将F（x,y)中的y固定为一点，通过该点，做平行于XoZ的平面（命名为A），A与空间曲面的交线是一条曲线，自变量是X，因变量是z; F（x,y)对X的偏导数的几何意义就是在一个确定的y上，Z随X的瞬间变化率；

然后我们再来看一下F（x,y)关于Y的偏导数的几何意义；
如下图：

同样，和关于X的偏导数一样的操作，使用平行于yOX 的平面去截取空间曲面，会得到一条自变量是Y，因变量是z的曲线， 故F（x,y)关于y的偏导数的几何意义是 固定一个x 后，z随y的瞬时变化 率；

以上都是隐函数存在定理的准备知识，接下来对定理进行分析：
首先放图：

如图： 该曲面在点P（蓝色点）处 满足F（x0，y0) = 0; 且该点的关于y的偏导数不等于零，（如果等于零的话，表示在 空间曲面和平面XOY 相交形成的曲线方向上，p点的切线与Y轴平行，这样使得一个x对应了多个Y,不符合函数的定义，也就是不能确定隐函数的存在；），所以可以确定唯一的一个具有连续导数的函数y = f(x),且其导数等于 原偏导数的上的负值；

如有错误之处，请批评指教，谢谢；再次感谢知乎题主费多西的支持和帮助！