[期望] Jzoj P3459 TheSwaps

Posted 2020-12-05 comfortable

Description

Alice得到了一个整数， 她将其视作长度为n的字符串S。为了好玩，她进行了k次如下操作：

1) 随机选取两个不同的位置x和y（即每次操作， {<x, y> | 1<=x < y <=n}中每个元素都有相同的概率被选到）

2) 交换数位S[x]和数位S[y]

为了自虐，在Alice恶搞之后，Bob会随机一个子串（即对于任意子串都有相同概率被选到），然后他想知道他选出的子串中各个位置数字之和的期望为多少。聪明的Bob想出了一个很好的方法来解决这个问题，那就是把这个问题交给你。Bob会告诉你S和k，你需要告诉他期望。

 

Input

一行，包含字S和k。

Output

一行，一个实数。当你的输出和标准答案的差距少于10^-6时，被认为是正确的。

 

Sample Input

输入1：

477 1

输入2：

57268508514909598902647806463326698034850446919720257361969 7

Sample Output

输出1：

10

输出2：

98.3238536775161

 

Data Constraint

对于70%的数据 |S|<=2500，k<=1000000

对于100%的数据 |S|<=1000000，k<=1000000

 

 

题解

• k次交换后，ans=每一位的期望值*每一位被选出的概率
• 显然第i位被选出的概率=包含i的子串数/总子串数=i*(n-i+1)/(n*(n+1)/2)
• 那如何求k次交换后每一位的期望值？
• 我们假设最初第i位为ai，p次交换后第i位仍然等于ai的概率是x，那么p+1交换后第i为仍然等于ai的概率是x*(1-(n-1)/q))+(1-x)/q
• 其中q=n*(n-1)/2
• 接下来有一个性质：
• 如果第i位不为ai，那么第i位是a中其他任何数的概率都是一样的(交换的随机性决定的)
• 因此如果k次交换后，第i位为ai的概率是x，那么第i位的期望值=ai*x+(sum-ai)/(n-1)*(1-x)
• 以上是题解的说法

代码

 1 #include <cstdio>
 2 #include <iostream>
 3 #include <algorithm>
 4 #include <cstring>
 5 using namespace std;
 6 char s[1000010];
 7 int k,n,a[1000010],sum;
 8 double x,q,a1,a2,ans;
 9 int main()
10 {
11     scanf("%s %d",s,&k);
12     n=strlen(s);
13     for (int i=1;i<=n;i++)
14     {
15         a[i]=s[i-1]-‘0‘;
16         sum+=a[i];
17     }
18     x=1.0; q=(n-1.0)*n/2.0;
19     for (int i=1;i<=k;i++) x=x*(1.0-(n-1.0)/q)+(1.0-x)/q;
20     for (int i=1;i<=n;i++)
21     {
22         a1=i*(double)(n-i+1.0)/(double)(n*(n+1.0)/2.0);
23         a2=(double)a[i]*x+(double)(sum-a[i])/(double)(n-1.0)*(1.0-x);
24         ans+=a1*a2;
25     }
26     printf("%.9lf",ans);
27     return 0;
28 }