XJOI 3629 非严格次小生成树(pqq的礼物)

Posted 2020-12-04 stxy-ferryman

题目描述：

有一天，pqq准备去给×i×准备礼物，他有一些礼品准备包装一下，他用线将这些礼物连在一起，不同的礼物因为风格不同所以连接它们需要不同价值的线。风格差异越大，价格越大(所以两个礼物之间只有一种连接价格），当然有些礼物实在太不友好，所以有些礼物无法相连。pqq打算把所有礼物打包在一起，他不准备花太多钱，但更不想花最少的钱（免得被拒绝）。所以他想知道第二便宜的包装方案（可重复，pqq会认为这是天命并直接选用最小代价来包装礼物），同时，他还想知道最小的包装代价以向×i×进行炫耀。但是由于pqq不够心灵手巧，所以他准备找你来帮他计算答案。

 

输入格式：

 两个数n，m表示有n个礼物，有m对礼物可以相连1≤n,m≤2∗105

 接下来的m行每行三个数a,b,c，表示a礼物和b礼物可以用c的价值相连 , 1≤a,b≤n,1≤c≤106

 

输出格式：

输出一行，包含两个数，分别是最小代价和次小代价

 

样例输入：

5 10
1 2 1
2 3 2
3 4 3
4 5 4
1 3 5
1 4 6
1 5 7
2 4 8
2 5 9
3 5 10

 

样例输出：

10 11

瞎扯：我其实很好奇XiX是谁啊┐(´∀｀)┌

题解：其实非严格次小生成树的思路还是很好理解的
首先是什么是非严格次小生成树
就是树边和可以等于和大于最小生成树的另一颗生成树
假设现在要把一条非树边(u,v,c)加入最小生成树，想必要去掉一条原生成树中u->v的边，显然去掉最大边效果是最好的
所以在最小生成树上跑一个倍增DP，d[i][j]表示j的2^i次祖先到j的路径中最大的值
显然可以跟跳lca一样的在logn的跳出u->v路径上的最大值，当然树链剖分也是可以搞这个东西的，但是再写一颗线段树还享受lognlogn的复杂度
emmmm，何必呢……
如果能跳出这个值，我们只要枚举每一条非树边，就可以在nlogn的复杂度里跳出非严格次小生成树，然后就A掉了

代码如下：

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define pii pair<int,int>
#define mp make_pair
#define int long long
using namespace std;

int fa[200010],vis[200010],deep[200010],n,m,f[19][250010],d[19][250010],ans1,ans2;
vector<pii> g[200010];
struct line
{
    int from,to,cost;
}l[200010];

int cmp(line a,line b)
{
    return a.cost<b.cost;
}

void init()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        fa[i]=i;
    }
}

int find(int x)
{
    if(fa[x]==x) return x;
    return fa[x]=find(fa[x]);
}

void unity(int t,int x,int y,int c)
{
    int fx=find(x);
    int fy=find(y);
    if(fx==fy) return ;
    fa[fx]=fy;
    ans1+=c;
    vis[t]=1;
    g[x].push_back(mp(y,c));
    g[y].push_back(mp(x,c));
}

void dfs(int now,int ff,int dist,int dep)
{
    d[0][now]=dist;
    f[0][now]=ff;
    deep[now]=dep;
    for(int i=1;i<=18;i++)
    {
        f[i][now]=f[i-1][f[i-1][now]];
    }
    for(int i=1;i<=18;i++)
    {
        d[i][now]=max(d[i-1][now],d[i-1][f[i-1][now]]);
    }
    for(int i=0;i<g[now].size();i++)
    {
        if(g[now][i].first==ff) continue;
        dfs(g[now][i].first,now,g[now][i].second,dep+1);
    }
}

int get(int u,int v)
{
    int x=u,y=v;
    if(deep[x]<deep[y]) swap(x,y);
    int di=0;
    for(int i=18;i>=0;i--)
    {
        if(deep[f[i][x]]>=deep[y])
        {
            di=max(di,d[i][x]);
            x=f[i][x];
        }
    }
    if(x==y) return di;
    for(int i=18;i>=0;i--)
    {
        if(f[i][x]!=f[i][y])
        {
            di=max(max(d[i][x],d[i][y]),di);
            x=f[i][x];
            y=f[i][y];
        }
    }
    return max(di,max(d[0][x],d[0][y]));
}

signed main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    init();
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%lld%lld%lld",&l[i].from,&l[i].to,&l[i].cost);
    }
    sort(l+1,l+m+1,cmp);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        unity(i,l[i].from,l[i].to,l[i].cost);
    }
    dfs(1,0,0,1);
    ans2=1e16;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            ans2=min(ans2,ans1+l[i].cost-get(l[i].from,l[i].to));
        }
    }
    printf("%lld %lld
",ans1,ans2);
}