POJ2084 Game of Connections 卡特兰数 关于卡特兰数经典的几个问题

Posted 2020-12-04 l609929321

Game of Connections

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Description

This is a small but ancient game. You are supposed to write down the numbers 1, 2, 3, . . . , 2n - 1, 2n consecutively in clockwise order on the ground to form a circle, and then, to draw some straight line segments to connect them into number pairs. Every number must be connected to exactly one another. 
And, no two segments are allowed to intersect. 
It‘s still a simple game, isn‘t it? But after you‘ve written down the 2n numbers, can you tell me in how many different ways can you connect the numbers into pairs? Life is harder, right?

Input

Each line of the input file will be a single positive number n, except the last line, which is a number -1. 
You may assume that 1 <= n <= 100.

Output

For each n, print in a single line the number of ways to connect the 2n numbers into pairs.

Sample Input

2
3
-1

Sample Output

2
5

Source

Shanghai 2004 Preliminary

 

参考博客：

https://blog.csdn.net/sdj222555/article/details/7260739

 

卡特兰数又称卡塔兰数，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。由以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名。

 

原理

　　令h(1)=1,h(2)=1，catalan数满足递归式：

 

　　h(n)= h(1)*h(n-1)+h(2)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(1) (其中n>=3)

 

　　例如：h(3)=h(1)*h(2)+h(2)*h(1)=1*1+1*1=2

 

　　h(4)=h(1)*h(3)+h(2)*h(2)+h(3)*h(1)=1*2+1*1+2*1=5

 

　　另类递归式：

 

　　h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);

 

　　该递推关系的解为：

 

　　h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)

 

卡特兰数的应用

实质上都是递归等式的应用

括号化问题

　　矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种)

出栈次序问题

　　一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列?

 

　　分析

 

　　对于每一个数来说，必须进栈一次、出栈一次。我们把进栈设为状态‘1’，出栈设为状态‘0’。n个数的所有状态对应n个1和n个0组成的2n位二进制数。由于等待入栈的操作数按照1‥n的顺序排列、入栈的操作数b大于等于出栈的操作数a(a≤b)，因此输出序列的总数目=由左而右扫描由n个1和n个0组成的2n位二进制数，1的累计数不小于0的累计数的方案种数。

 

　　在2n位二进制数中填入n个1的方案数为c(2n,n),不填1的其余n位自动填0。从中减去不符合要求（由左而右扫描，0的累计数大于1的累计数）的方案数即为所求。

 

　　不符合要求的数的特征是由左而右扫描时，必然在某一奇数位2m+1位上首先出现m+1个0的累计数和m个1的累计数，此后的2(n-m)-1位上有n-m个 1和n-m-1个0。如若把后面这2(n-m)-1位上的0和1互换，使之成为n-m个0和n-m-1个1，结果得1个由n+1个0和n-1个1组成的2n位数，即一个不合要求的数对应于一个由n+1个0和n-1个1组成的排列。

 

　　反过来，任何一个由n+1个0和n-1个1组成的2n位二进制数，由于0的个数多2个，2n为偶数，故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面部分0和1互换，使之成为由n个0和n个1组成的2n位数，即n+1个0和n-1个1组成的2n位数必对应一个不符合要求的数。

 

　　因而不合要求的2n位数与n+1个0，n－1个1组成的排列一一对应。

 

　　显然，不符合要求的方案数为c(2n,n+1)。由此得出 输出序列的总数目=c(2n,n)-c(2n,n+1)=1/(n+1)*c(2n,n)。

 

　　（这个公式的下标是从h(0)=1开始的）

 

　　类似问题

 

　　有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

凸多边形的三角剖分问题

　　求将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数。

 

　　类似：一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？

 

　　类似：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?

用给定节点组成二叉树的问题

　　给定N个节点，能构成多少种不同的二叉树？

 

　　（能构成h（N）个）

 

　　（这个公式的下标是从h(0)=1开始的）

 然后这个题目就是一个裸的卡特兰数，因为到后面爆了long long，所以这里直接用了java的大数

import java.math.BigInteger;
import java.util.Scanner;

public class Main {
	public static void main(String[] args) {
		BigInteger [] a = new BigInteger [105];
		a[0] = BigInteger.ONE;
		a[1] = BigInteger.ONE;
		for( int i = 2; i <= 101; i ++ ) {
			a[i] = a[i-1].multiply(BigInteger.valueOf(4*i-2)).divide(BigInteger.valueOf(i+1));
		}
		Scanner cin = new Scanner(System.in);
		while( cin.hasNext() ) {
			int n = cin.nextInt();
			if( n == -1 ) {
				break;
			}
			System.out.println(a[n]);
		}
	}
}