判断无向图/有向图中是否存在环

Posted 2020-12-04 wangkundentisy

　　本文主要针对如何判断有向图/无向图中是否存在环的问题进行简单的论述。

一 无向图

1.利用DFS进行判断

利用DFS判断有向图是否存在环，是最为常用的一种方法，虽然这种方法很常用，但可参考的代码的实现比较少，下面对这种方法及其实现进行详细的阐述。

首先，利用DFS判断无向图中是否换的原理是：若在深度优先搜索的过程中遇到回边(即指向已经访问过的顶点的边)，则必定存在环。

所以说，是否存在环的关键在于是否存在满足条件的“回边”，那么如何判断回边呢？

(1)首先，对图中的所有顶点定义三种状态：顶点未被访问过、顶点刚开始被访问、顶点被访问过并且其所有邻接点也被访问过。这三种状态，在visited数组中分别用0、1、2来表示。那么，存在环的情况可以定义为：在遍历过程中，发现某个顶点的一条边指向状态1的顶点，此时就存在环。

(2)此外，我们要定义一个father数组，用以存储在DFS过程中顶点的父顶点(或者说是生成树上的父节点)。其主要作用是为了区分邻接点中环中的顶点和遍历过程中的父节点 (单纯的用visited数组无法区分)。

整个过程的实现代码如下：

 

#define MAX_NUM 100
#define INF 0x7fffffff
/*DFS判断无向图中是否有环*/
class Graph
{
    public:
    int vertexNum;//顶点个数
    int arcNum;//弧的个数
    int vertex[MAX_NUM];//顶点表
    int arc[MAX_NUM][MAX_NUM];//弧信息表
};
int visited[MAX_NUM];//顶点访问表
int father[MAX_NUM];//父节点表问表
void DFS(int v,Graph G)
{
    visited[v] = 1;
    for(int i = 0 ; i < G.vertexNum; i++)
    {
        if(i != v && G.arc[v][i] != INF)//邻接矩阵中节点v的邻接点
        {
            if(visited[i] == 1 && father[i] != v)//不是父节点，而且还访问过，说明存在环
            {
                cout<<"图存在环";
                int temp = v;
                while(temp != i)
                {
                    cout<<temp<<"->";//输出环
                    temp = father[temp];
                }
                cout<<temp<<endl;
            }
            else
                if(visited[i] == 0)
                {
                    father[i] = v;//更新father数组
                    DFS(i,G);
                }

        }
    }
    visited[v] = 2;//遍历完所有的邻接点才变为状态2
}
void DFSTraverse(Graph G)
{
    memset(visited,0,sizeof(visited));
    memset(father,-1,sizeof(father));
    for(int i = 0 ; i < G.vertexNum; i++)
        if(!visited[i])
            DFS(i,G);
}

 

　　

 

 由此可见，visited数组相对于一般的情况，增加了个状态2，主要是为了防止在回溯过程中进行误判。所以才能仅用father数组和状态1判断存在环。

由于使用的是邻接矩阵来存储，所以该算法的时间复杂度为O(n^2),空间复杂度为O(n)。

2.其他方法本文不再详述。

二 有向图

1.拓扑排序

关于拓扑排序，资料很多，本文不再详述。