AGC026D Histogram Coloring

Posted 2020-12-04 bestfy

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题意：

给定n列的方块，第i列高度$h_i$。现在要把它染成红蓝两色，要求满足：对于任意一个$2 imes 2$的区域，恰有2个蓝色，2个红色。问方案数。

$nleq 100,h_ileq10^9.$

 

题解：

观察到一个性质：对于同行相邻两个格子，如果颜色相同，那么下一行的颜色必定取反；否则下一行可以取反也可以不取。那么，对于任一行，如果存在相邻两个格子颜色相同，下一行的染色方法唯一；否则存在两种染色方案。（以下所述的“存在/不存在”都是指“存在/不存在相邻两个格子颜色相同”）

考虑保存两个量：first：存在相邻格子颜色相同情况的方案数；second：不存在的方案数（固定第一个格子的颜色，也就是最终答案需要乘2）。

如果是一个矩形很容易计算答案。否则定义solve(l,r,lim)表示区间[l,r]比lim高的部分染色方案数，每次对于这段区间把下面整块矩形的部分砍掉，上面部分递归处理。用s0,s1维护上方有方格的列，当前行存在/不存在的方案数，那么可以方便地和上方没有方格的部分合并答案。注意计数过程中一些细节问题。

时间复杂度$mathcal{O}(n^2)$。

 

code：

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define rep(i,x,y) for (int i=(x);i<=(y);i++)
 3 #define ll long long
 4 #define inf 1000000001
 5 #define y1 y1___
 6 #define pii pair<int,int>
 7 #define fi first
 8 #define se second
 9 using namespace std;
10 char gc(){
11     static char buf[100000],*p1=buf,*p2=buf;
12     return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
13 }
14 #define gc getchar
15 ll read(){
16     char ch=gc();ll x=0;int op=1;
17     for (;!isdigit(ch);ch=gc()) if (ch==‘-‘) op=-1;
18     for (;isdigit(ch);ch=gc()) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-‘0‘;
19     return x*op;
20 }
21 #define N 105
22 #define mod 1000000007
23 int ksm(int x,int p){
24     int ret=1;
25     for (;p;p>>=1,x=(ll)x*x%mod) if (p&1) ret=(ll)ret*x%mod;
26     return ret;
27 }
28 int n,h[N];
29 pii solve(int l,int r,int lim){//区间[l,r]比lim高的部分的方案数
30     int mi=inf,cnt=0;pii ret;//first：存在相邻格子颜色相同情况的方案数；second：不存在的方案数（固定第一个格子的颜色）
31     rep (i,l,r) if (h[i]<mi) mi=h[i],cnt=1;else if (h[i]==mi) cnt++;
32     if (cnt==r-l+1){//矩形
33         ret.fi=(ksm(2,r-l+1)+mod-2)%mod;
34         ret.se=ksm(2,mi-lim-1);
35         return ret;
36     }
37     int rest=r-l+1,s0=1,s1=1,last=0;//rest：上方没有方格的列数；s0,s1：维护上方有方格的列，当前行存在/不存在的方案数
38     rep (i,l,r+1)
39         if (!last&&h[i]>mi) last=i;
40         else if (last&&(h[i]<=mi||i>r)){
41             rest-=i-last;
42             pii tmp=solve(last,i-1,mi);//子问题，递归求解
43             s0=(ll)s0*(tmp.fi+4ll*tmp.se%mod)%mod;//*4是因为上一行可以取反，当前行亦然，2*2
44             s1=(ll)s1*(2ll*tmp.se%mod)%mod;
45             last=0;
46         }
47     s0=(s0+mod-s1)%mod;
48     ret.fi=(ll)s0*ksm(2,rest)%mod;//如果上方方格已经存在，剩下的列随意
49     ret.fi=(ret.fi+(ll)s1*(ksm(2,rest)+mod-2)%mod)%mod;//否则需要去掉两种不合法的情况
50     ret.se=(ll)s1*ksm(2,mi-lim-1)%mod;//固定第一个格子（第一行）颜色
51     return ret;
52 }
53 int main(){
54     n=read();rep (i,1,n) h[i]=read();
55     if (n==1){//注意特判
56         printf("%d
",ksm(2,h[1]));
57         exit(0);
58     }
59     int ex=1;
60     rep (i,1,n) if (h[i]>h[i-1]&&h[i]>h[i+1]){
61         ex=(ll)ex*ksm(2,h[i]-max(h[i-1],h[i+1]))%mod;
62         h[i]=max(h[i-1],h[i+1]);
63     }
64     pii ans=solve(1,n,0);
65     printf("%d",(ll)ex*(ans.fi+2ll*ans.se%mod)%mod);
66     return 0;
67 }

View Code

 

易错：

n=1的时候需要特判，因为否则的话调用ksm的时候p会变负，导致TLE。