[AGC 011 E]Increasing Numbers

Posted 2020-12-04 wendavid

题意

给出一个数N，要求分成最少数量的“上升数”，就是各个数位从高位到低位单调不降的数的和，求最少能分成多少数。
(1leq Nleq10^{500000})

分析

考虑一个所谓的“上升数”，一定可以表示为不超过9个形如(1,11,111,cdots)的数之和（数位最多上升9次），那么假设这个(N)可以分成不超过(k)个“上升数”之和，那么这其实也相当于分成不超过(9k)个这样由1组成的数之和。也就是(N=sumlimits_{i=1}^{9k}(10^{r_i}-1)/9)的形式。

简单化一下式子就可以得到这个式子等价于(9N+9k=sumlimits_{i=1}^{9k}10^{r_i})，我们发现(k)的范围只能是(1cdots L)，(L)表示(N)的长度，那么直接枚举(k)，每次往左边的数（(9N+9k)，每次(k)增加1）里面加9，判定一下右边是否能满足就可以得到最小的(k)了。

这个题目算是一个挺脑洞的题目，最主要是需要注意到“上升数”能够拆成这样一个非常对称的优美形式。