离散数学的一些概念

Posted 2020-12-04 bluebluesea

１.前束范式

一个公式，如果量词均在全式的开头，它们的作用域延伸到整个公式的末尾，则称为是前束范式。例如：(?x)(?y)(?z)（Q(x,y)→R(z)）?的地方是并或交。任何一个谓词公式都有一个前束范式等价。

２.容斥原理

ｎ个集合的并集的元素的个数＝每个集合元素的个数和－两两集合交＋三三集合交＋（－１）＾ｎ＋１ｎ个集合交。

比如对于ｎ＝２来说，｜A＋B｜＝｜A｜＋｜Ｂ｜－｜Ａ∩B｜

３.集合恒等式

幂等律、交换律、结合律、分配律、德摩根率、吸收率、同一律。

４.序偶＜ａ，ｂ＞

笛卡儿积是两个集合中所有元素两两相乘，不满足交换律、结合律、满足分配律。

５．关系的概念

序偶可以反映集合间元素的关系，对于二元关系F，若＜ｘ，ｙ＞∈F，记作ｘＦｙ。

那么重要：A，B是任意两个集合，A×B即两个笛卡儿积的任意子集R成为A到B的二元关系（注意是任一子集。个数也同子集总数相同）

设集合A有n个元素,问A上可能的二元关系有多少个？

答：集合A上的二元关系与A×A的子集个数相同。若|A|=n，则|A×A|=n2, A?A的子集个数就有2的n2次方个。所以A上不同的二元关系有2的n2次方个。 例如，集合A={a,b}上的二元关系有16个。

另外要注意，空关系和恒等关系（这两个是平凡的）

６.关系的性质

自反性、反对称、对称性、反对称性、传递性。

自反性：Ａ是一个集合，那么对于R∈A×A，如果有ｘＲｘ，那么就说R在A上是自反的二元关系。比如：集合上的全域关系、恒等关系、小于等于关系都是自反的二元关系。

反自反关系：即对于任意ｘ∈A，均有＜ｘ，ｘ＞不属于R。比如：小于关系。空关系既是自反的又是非自反的。

对称性：对于ｘ，ｙ∈A，那么如果有ｘＲｙ，ｙＲｘ，则R是A上对称的二元关系。比如：恒等关系、全域关系。

小于等于是反对称性。传递性就比较好理解了。

７.关系的闭包（包含所有给定的对象，并且具有制定性质的最小集合）

自反闭包、对称闭包、传递闭包。／／对这个其实还不太理解

８.等价关系和划分。

等价关系：R包含于A×A，且A不为空集，若R具有自反、对称、传递性，那么R就是等价关系。

等价类：由等价关系形成的划分吧。

９.等势。

等势: 设A,B为两个集合，若存在从A到B的双射函数，则称A与B是等势的. A ? B ? ?双射 f:A?B

那么证明等势就通过直接或者间接构造双射。

１０.基数。

是对｜A｜的推广，偶数集的基数就是无穷。

１１.图的同构关系是等价关系。

１２.强连通是双向联通，有向图中任意对顶点之间都相互可达。也就是图中有回路过每个顶点至少一次。

１３.欧拉图是经过图中所有的边且每条边仅经过一次－简单回路。哈密顿图是经过图中所有的点且每个点仅经过一次。