有标号的DAG计数 III

Posted 2020-12-04 yuzao

Description

给定一正整数n，对n个点有标号的有向无环图进行计数，这里加一个限制：此图必须是弱连通图。输出答案 mod 10007 的结果。

Solution

弱连通图即把边变成无向之后成为连通的图
考虑补集转换,用 (DAG) 的方案数减去不连通的方案数
设 (f[i]) 为大小为 (i) 的(DAG)的方案数
可以像 (DAG I) 那样求出来

(g[i]) 为弱连通图的方案数
(g[n]=f[n]-sum_{i=1}^{n}g[i]*f[i-j]*C_{n-1}^{i-1})
即枚举与 (1) 相连的连通块大小,因为这个块大小不一样,所以可以不重不漏

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5005,mod=10007;
int n,c[N][N],bin[N*N],f[N],g[N];
int main(){
    freopen("pp.in","r",stdin);
    freopen("pp.out","w",stdout);
    cin>>n;
    for(int i=0;i<=n;i++){
        c[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=i;j++)c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mod;
    }
    bin[0]=1;for(int i=1,lim=n*n;i<=lim;i++)bin[i]=bin[i-1]*2%mod;
    f[0]=g[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=i;j++)
            f[i]=(f[i]+(j&1?1:-1)*1ll*f[i-j]*bin[j*(i-j)]*c[i][j])%mod;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        g[i]=f[i];
        for(int j=1;j<i;j++){
            g[i]=(g[i]-1ll*f[i-j]*g[j]*c[i-1][j-1])%mod;
        }
    }
    if(g[n]<0)g[n]+=mod;
    cout<<g[n]<<endl;
    return 0;
}