算法研究：利用Python解决数学计数原理问题

Posted 2023-02-21 YhPythonJSCPP

最近数学修行到“计数原理”部分，前几天做作业时遇到这样一道数学题：

用四种不同颜色给三棱柱六个顶点涂色,要求每个点涂一种颜色,且每条棱的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法有多少种？

当我看完题目后，顿时不知所措。于是我拿起草稿纸在一旁漫无目的地演算了一下，企图能找到解决方法。结果一无所获。今天终于等到放假了，于是打算通过程序算法解决这个问题。经过2个多小时的研究，终于完成了代码，并求得了答案。

由于Python写起来比较方便而且本人比较喜欢Python的语法，所以研究算法时我通常采用Python，此次也不例外。以下就是整个算法的实现过程。

两种算法

我一共想出了两种用于解决本题的算法：

• 算法一：将所有的涂色情况通过程序的循环计算出来，然后通过程序的条件判断去除掉不合题意的所有情况，最后得到最终结果。
• 算法二：从其中任意一个端点（p0）入手，由于其它所有端点都没有涂色，所以它可以涂四种颜色。将这四种颜色通过循环分别涂在这个端点上，每涂上一种颜色后，获取与它相临的一个端点（p1），并获取它可以涂上的颜色，然后通过循环将可用颜色涂上（及不能涂上与p0相同的颜色），每涂上一种颜色，又将p1相邻的未涂色的点涂色（及除p0外其他的相邻端点）。每个点被涂色后都采用同样的方法将相邻的点涂色，以此类推，涂完最后一个点，就记一次情况。所有的递归都完成后，就获得了所有情况。

算法一很直接很粗暴，所以我采用了算法二来解决上述问题。接下来就是具体的代码了。

算法实现

我写了大约90行Python代码来实现这个算法：

colorList = [0, 1, 2, 3]
pointList = []
amount = 0


class Point(object):
    def __init__(self):
        super(Point, self).__init__()

        self.neibors = []
        self.color = None

    def paint(self, c):
        self.color = c

    def clean(self):
        self.color = None

    def getLeftOverColors(self):
        copyOfColorList = colorList[0 : 4]

        for neibor in self.neibors:
            nc = neibor.color

            if nc in copyOfColorList:
                copyOfColorList.remove(nc)

        return copyOfColorList


def main():
    global pointList

    p0 = Point()
    p1 = Point()
    p2 = Point()
    p3 = Point()
    p4 = Point()
    p5 = Point()

    p0.neibors = [p1, p2, p4]
    p1.neibors = [p0, p2, p5]
    p2.neibors = [p0, p1, p3]
    p3.neibors = [p2, p4, p5]
    p4.neibors = [p0, p3, p5]
    p5.neibors = [p4, p3, p1]

    pointList = [p0, p1, p2, p3, p4, p5]

    paintPoint(p0)

    print(amount)

def paintPoint(p):
    global amount

    colors = p.getLeftOverColors()
    lastOne = isLastOne()

    for c in colors:
        p.paint(c)

        if lastOne:
            amount += 1
        else:
            for currentNeibor in p.neibors:
                if currentNeibor.color == None:
                    paintPoint(currentNeibor)

                    break

    p.clean()

def isLastOne():
    global pointList

    paintedNum = 0

    for p in pointList:
        if p.color != None:
            paintedNum += 1

    return paintedNum == 5


if __name__ == "__main__":
    main()  

以下是对各段代码的介绍。

全局变量

• colorList：颜色列表
• pointList：存放六个点的列表
• amount : 涂色方案的种数

Point类

用于储存各个点的信息，如点的颜色（color属性，None代表无颜色）、相邻的点（’neibors’属性）。以及提供paint方法用于将点标记颜色；clean方法用于去除颜色；getLeftOverColors方法用于获取可用颜色，及获取相邻点没有使用的颜色。

main函数

程序开始运行时调用的函数，其中构造了所需的六个点，以及分别为这六个点明确了相邻的三个点。注意，由于这里的点只有相邻和不相邻的位置关系，所以不需要在意这些点到底在三棱柱里对应哪个位置，任意设定这些点的位置对结果来说并没有影响，只需注意它们之间的相邻关系即可。

isLastOne函数

判断是不是最后一个未涂色的点。

paintPoint函数

用于对作为参数传入的点进行着色。其中首先通过调用该点的getLeftOverColors方法获取可用颜色，然后按照上文算法中介绍的，通过遍历可用颜色列表，为该点着色，如果该点不是最后一个点（通过isLastOne函数判断），就递归调用paintPoint函数为相邻的一个未着色的点着色，如果是，则将记下一次涂色方案。

运行代码，得到结果 - 264：

Ok，于是这道题就在我们的计算机的帮助下，被成功解决掉了～

如果大家有更好的方案解决这一算法问题，欢迎交流～

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