主席树补充练习
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了主席树补充练习相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
1.（HDOJ6278）http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6278
2.（CF961E）http://codeforces.com/problemset/problem/961/E
3.（CF1000F）http://codeforces.com/problemset/problem/1000/F
4.（CF916D）https://www.luogu.org/problemnew/show/CF916D
5.（CQOI2015）https://www.luogu.org/problemnew/show/P3168
6.（POI2014）https://www.luogu.org/problemnew/show/P3567
7.（SCOI2016）https://www.luogu.org/problemnew/show/P3293
8.（SDOI2010）https://www.luogu.org/problemnew/show/P2468
9.（P4137）https://www.luogu.org/problemnew/show/P4137
1.（HDOJ6278）http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6278
题意：给定一个长度为n的序列，和q个询问，求每个询问[l,r]中最大的h，满足该区间内至少有h个数的值大于h。
分析：主席树+二分答案。每次二分后求区间第mid小的数与mid比较
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<algorithm> 4 #include<vector> 5 using namespace std; 6 const int maxn=1e5+10; 7 const int maxm=5e6+10; 8 int n,q,m,tot; 9 int a[maxn],t[maxn]; 10 int T[maxn],lson[maxm],rson[maxm],c[maxm]; 11 12 void init_hash() 13 { 14 for ( int i=1;i<=n;i++ ) t[i]=a[i]; 15 sort(t+1,t+1+n); 16 m=unique(t+1,t+1+n)-(t+1); 17 } 18 19 int build(int l,int r) 20 { 21 int root=tot++; 22 c[root]=0; 23 if ( l!=r ) 24 { 25 int mid=(l+r)/2; 26 lson[root]=build(l,mid); 27 rson[root]=build(mid+1,r); 28 } 29 return root; 30 } 31 32 int hash_(int x) 33 { 34 return lower_bound(t+1,t+1+m,x)-t; 35 } 36 37 int update(int root,int pos,int val) 38 { 39 int rt=tot++,tmp=rt; 40 c[rt]=c[root]+val; 41 int l=1,r=m; 42 while ( l<r ) 43 { 44 int mid=(l+r)/2; 45 if ( pos<=mid ) 46 { 47 lson[rt]=tot++;rson[rt]=rson[root]; 48 rt=lson[rt];root=lson[root]; 49 r=mid; 50 } 51 else 52 { 53 rson[rt]=tot++;lson[rt]=lson[root]; 54 rt=rson[rt];root=rson[root]; 55 l=mid+1; 56 } 57 c[rt]=c[root]+val; 58 } 59 return tmp; 60 } 61 62 int query(int lrt,int rrt,int k) 63 { 64 if ( k==0 ) return 0; 65 int l=1,r=m; 66 while ( l<r ) 67 { 68 int mid=(l+r)/2; 69 if ( c[lson[rrt]]-c[lson[lrt]]>=k ) 70 { 71 r=mid; 72 lrt=lson[lrt]; 73 rrt=lson[rrt]; 74 } 75 else 76 { 77 l=mid+1; 78 k-=c[lson[rrt]]-c[lson[lrt]]; 79 lrt=rson[lrt]; 80 rrt=rson[rrt]; 81 } 82 } 83 return l; 84 } 85 86 int main() 87 { 88 int Case; 89 while ( scanf("%d%d",&n,&q)!=EOF ) 90 { 91 tot=0; 92 for ( int i=1;i<=n;i++ ) scanf("%d",&a[i]); 93 init_hash(); 94 T[0]=build(1,m); 95 for ( int i=1;i<=n;i++ ) 96 { 97 int pos=hash_(a[i]); 98 T[i]=update(T[i-1],pos,1); 99 } 100 while ( q-- ) 101 { 102 int l,r,k,mid,L,R,num; 103 scanf("%d%d",&l,&r); 104 L=1,R=r-l+2; 105 while ( R-L>1 ) 106 { 107 mid=(L+R)/2; 108 k=t[query(T[l-1],T[r],r-l+1-mid+1)]; 109 if ( k>=mid ) L=mid; 110 else R=mid; 111 } 112 printf("%d ",L); 113 } 114 } 115 return 0; 116 }
2.（CF961E）http://codeforces.com/problemset/problem/961/E
题意：有一个电视剧总共有n季，每季有a[i]季，现有第i季第j集与第j季第i集冲突（算一对），现求有多少对冲突
分析：主席树。首先对所有a[i]>n的数，都将其变成a[i]=n。同时对于所有a[i]>i的数来说会多算一对，将其减去。对于每个i来说，想知道有多少对冲突，只需要在T[a[i]]的版本中求出>=i的数的个数有多少。这样计算所有的方案会重复算一次，除掉2即可。
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<algorithm> 4 #include<vector> 5 using namespace std; 6 typedef long long ll; 7 const int maxn=2e5+10; 8 const int maxm=5e6+10; 9 int n,q,tot; 10 int a[maxn]; 11 int T[maxn],lson[maxm],rson[maxm],c[maxm]; 12 13 int build(int l,int r) 14 { 15 int root=tot++; 16 c[root]=0; 17 if ( l!=r ) 18 { 19 int mid=(l+r)/2; 20 lson[root]=build(l,mid); 21 rson[root]=build(mid+1,r); 22 } 23 return root; 24 } 25 26 int update(int root,int pos,int val) 27 { 28 int rt=tot++,tmp=rt; 29 c[rt]=c[root]+val; 30 int l=1,r=n; 31 while ( l<r ) 32 { 33 int mid=(l+r)/2; 34 if ( pos<=mid ) 35 { 36 lson[rt]=tot++;rson[rt]=rson[root]; 37 rt=lson[rt];root=lson[root]; 38 r=mid; 39 } 40 else 41 { 42 rson[rt]=tot++;lson[rt]=lson[root]; 43 rt=rson[rt];root=rson[root]; 44 l=mid+1; 45 } 46 c[rt]=c[root]+val; 47 } 48 return tmp; 49 } 50 51 int query(int lrt,int rrt,int k) 52 { 53 int ret=0; 54 int l=1,r=n; 55 while ( l<r ) 56 { 57 int mid=(l+r)/2; 58 if ( k<=mid ) 59 { 60 ret+=c[rson[rrt]]-c[rson[lrt]]; 61 r=mid; 62 lrt=lson[lrt]; 63 rrt=lson[rrt]; 64 } 65 else 66 { 67 68 l=mid+1; 69 lrt=rson[lrt]; 70 rrt=rson[rrt]; 71 } 72 } 73 ret+=c[rrt]-c[lrt]; 74 return ret; 75 } 76 77 int main() 78 { 79 int Case,h; 80 ll ans; 81 while ( scanf("%d",&n)!=EOF ) 82 { 83 ans=0; 84 tot=0; 85 for ( int i=1;i<=n;i++ ) 86 { 87 scanf("%d",&a[i]); 88 if ( a[i]>=n ) a[i]=n; 89 if ( a[i]>=i ) ans--; 90 } 91 T[0]=build(1,n); 92 for ( int i=1;i<=n;i++ ) 93 { 94 int pos=a[i]; 95 T[i]=update(T[i-1],pos,1); 96 } 97 for ( int i=1;i<=n;i++ ) ans+=query(T[0],T[a[i]],i); 98 printf("%lld ",ans/2); 99 } 100 return 0; 101 }
3.（CF1000F）http://codeforces.com/problemset/problem/1000/F
题意：给定一段序列a[]，每次求一个区间[l,r]中只出现一次的数（任意输出一个即可）
分析：设置数组pre[i]表示值为i的数上一次出现的位置，初始化为0. 数组last[i]表示a[i]这个值上一次出现的位置。对于一个区间来说我们只需要求出该区间中最小的last[i]，在与该区间左端点的位置进行比较即可。线段树用于保存结构体，结构体含val(区间最小值)和pos(区间最小值所对应的位置)，线段树维护该区间最小的last[i].
离线线段树做法：按所有访问的区间右端点从小到大进行排序，可以保证在当前区间下后面的值不会对该区间产生影响。
主席树做法：对于访问区间[l,r]来说，每次访问第r个版本的线段树，在求区间[l,r]的最小值即可，原理同上
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<algorithm> 4 #include<map> 5 using namespace std; 6 #define lson l,m,rt*2 7 #define rson m+1,r,rt*2+1 8 #define root 1,n,1 9 typedef long long ll; 10 const int maxn=5e5+10; 11 const int maxm=5e5+10; 12 const int inf=1e9; 13 int ans[maxn],a[maxn],pre[maxn],last[maxn]; 14 struct node{ 15 int val,pos; 16 }arr[maxn*4]; 17 struct Query{ 18 int l; 19 int r; 20 int index; 21 }Q[maxm]; 22 23 void pushup(int rt) 24 { 25 if ( arr[rt*2].val<=arr[rt*2+1].val ) arr[rt]=arr[rt*2]; 26 else arr[rt]=arr[rt*2+1]; 27 } 28 29 void build(int l,int r,int rt) 30 { 31 if ( l==r ) { 32 arr[rt].val=0; 33 arr[rt].pos=l; 34 return; 35 } 36 int m=(l+r)/2; 37 build(lson); 38 build(rson); 39 pushup(rt); 40 } 41 42 void update(int p,int val,int l,int r,int rt) 43 { 44 if ( l==r ) { 45 arr[rt].val=val; 46 return; 47 } 48 int m=(l+r)/2; 49 if ( p<=m ) update(p,val,lson); 50 else update(p,val,rson); 51 pushup(rt); 52 } 53 54 node query(int L,int R,int l,int r,int rt) 55 { 56 node Ans,Ans_; 57 if ( L<=l && r<=R ) return arr[rt]; 58 int m=(l+r)/2; 59 int ret=inf; 60 int k,p; 61 if ( L<=m ) 62 { 63 Ans=query(L,R,lson); 64 if ( Ans.val<ret ) 65 { 66 ret=Ans.val; 67 k=Ans.pos; 68 } 69 } 70 if ( m<R ) 71 { 72 Ans=query(L,R,rson); 73 if ( Ans.val<ret ) 74 { 75 ret=Ans.val; 76 k=Ans.pos; 77 } 78 } 79 Ans_.val=ret; 80 Ans_.pos=k; 81 return Ans_; 82 } 83 84 bool cmp(Query a,Query b) 85 { 86 return a.r<b.r; 87 } 88 89 int main() 90 { 91 int T,i,j,k,n,m,x,y,z,cnt; 92 while ( scanf("%d",&n)!=EOF ) { 93 for ( i=1;i<=n;i++ ) scanf("%d",&a[i]); 94 memset(last,0,sizeof(last)); 95 memset(pre,0,sizeof(pre)); 96 for ( i=1;i<=n;i++ ) 97 { 98 if ( pre[a[i]] ) last[i]=pre[a[i]]; 99 pre[a[i]]=i; 100 } 101 build(root); 102 scanf("%d",&m); 103 for ( i=1;i<=m;i++ ) { 104 scanf("%d%d",&Q[i].l,&Q[i].r); 105 Q[i].index=i; 106 } 107 sort(Q+1,Q+1+m,cmp); 108 cnt=1; 109 for ( i=1;i<=m;i++ ) { 110 for ( ;cnt<=Q[i].r;cnt++ ) 111 { 112 if ( last[cnt] ) update(last[cnt],inf,root); 113 update(cnt,last[cnt],root); 114 } 115 node Ans=query(Q[i].l,Q[i].r,root); 116 x=Ans.val; 117 if ( x>=Q[i].l ) ans[Q[i].index]=0; 118 else ans[Q[i].index]=a[Ans.pos]; 119 } 120 for ( i=1;i<=m;i++ ) printf("%d ",ans[i]); 121 } 122 return 0; 123 }
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<algorithm> 4 using namespace std; 5 typedef long long ll; 6 const int maxn=5e5+10; 7 const int maxm=4e7+10; 8 const int inf=1e9; 9 struct node{ 10 int val,pos; 11 }c[maxm]; 12 int tot,n,q; 13 int a[maxn],t[maxn],pre[maxn],last[maxn],index[maxn]; 14 int lson[maxm],rson[maxm]; 15 int T[maxn]; 16 17 void build(int &root,int l,int r) 18 { 19 root=++tot; 20 c[root].val=inf; 21 if ( l==r ) return; 22 int mid=(l+r)/2; 23 build(lson[root],l,mid); 24 build(rson[root],mid+1,r); 25 } 26 27 void update(int root,int &rt,int p,int val,int l,int r) 28 { 29 rt=++tot; 30 lson[rt]=lson[root],rson[rt]=rson[root]; 31 if ( l==r ) 32 { 33 c[rt].pos=l; 34 c[rt].val=val; 35 return; 36 } 37 int mid=(l+r)/2; 38 if ( p<=mid ) update(lson[rt],lson[rt],p,val,l,mid); 39 else update(rson[rt],rson[rt],p,val,mid+1,r); 40 if ( c[lson[rt]].val<c[rson[rt]].val ) c[rt]=c[lson[rt]]; 41 else c[rt]=c[rson[rt]]; 42 } 43 44 node query(int rt,int L,int R,int l,int r) 45 { 46 node Ans,Ans_; 47 if ( L<=l && r<=R ) return c[rt]; 48 int m=(l+r)/2; 49 int ret=inf; 50 int k; 51 if ( L<=m ) 52 { 53 Ans=query(lson[rt],L,R,l,m); 54 if ( Ans.val<ret ) 55 { 56 ret=Ans.val; 57 k=Ans.pos; 58 } 59 } 60 if ( m<R ) 61 { 62 Ans=query(rson[rt],L,R,m+1,r); 63 if ( Ans.val<ret ) 64 { 65 ret=Ans.val; 66 k=Ans.pos; 67 } 68 } 69 Ans_.val=ret; 70 Ans_.pos=k; 71 return Ans_; 72 } 73 74 int main() 75 { 76 int Case; 77 while ( scanf("%d",&n)!=EOF ) 78 { 79 tot=0; 80 for ( int i=1;i<=n;i++ ) scanf("%d",&a[i]); 81 memset(last,0,sizeof(last)); 82 memset(pre,0,sizeof(pre)); 83 for ( int i=1;i<=n;i++ ) 84 { 85 if ( pre[a[i]] ) last[i]=pre[a[i]]; 86 pre[a[i]]=i; 87 } 88 build(T[0],1,n); 89 for ( int i=1;i<=n;i++ ) 90 { 91 if ( last[i] ) 92 { 93 int tmp; 94 update(T[i-1],tmp,last[i],inf,1,n); 95 update(tmp,T[i],i,last[i],1,n); 96 } 97 else update(T[i-1],T[i],i,last[i],1,n); 98 } 99 scanf("%d",&q); 100 while ( q-- ) 101 { 102 int l,r,k; 103 scanf("%d%d",&l,&r); 104 node A=query(T[r],l,r,1,n); 105 if ( A.val>=l ) printf("0 "); 106 else printf("%d ",a[A.pos]); 107 } 108 } 109 return 0; 110 }
4.（CF916D）https://www.luogu.org/problemnew/show/CF916D
分析：建两棵主席树。对于每个字符（与任务对应）都有其特定的编号和优先级。一颗主席树（记作A），记录每个编号的字符对应的优先级。另外一棵主席树（记作B）记录每个优先级下有多少个字符。
wt代表主席树A的根节点编号，root代表主席树B的根节点编号
对于set操作：先判断是否已经存在，如果本身不存在，在A中对于其编号的位置添加值（值的大小为优先级）.
若已经存在，先在主席树A中确定他原来的优先级p，更新成新的优先级k。在主席树B中p的位置-1，k的位置+1
对于操作remove:先在A中确定其优先级p，再更新为0。在B中p的位置-1
对于操作query：先在A中确定其优先级p，在B中求出优先级为【1，p-1】的个数。若为0，则表示不存在。
对于操作undo k：让root[i]=root[i-k+1],wt[i]=wt[i-k+1]（返回历史版本）
注意：该题为强制在线，所以一开始不需要build建树，而是用到哪部分才在该部分建树
代码来自于https://www.luogu.org/problemnew/solution/CF916D
1 #include<cstdio> 2 #include<iostream> 3 #include<cstring> 4 #include<map> 5 using namespace std; 6 const int inf=1e9; 7 const int maxn=1e5+10; 8 const int maxm=1e7+10; 9 map<string,int>mp; 10 int root[maxn],wt[maxn],tot=0,top=0; 11 string s,op; 12 struct node 13 { 14 int lson,rson,w; 15 }A[maxm]; 16 17 int getid(string s) 18 { 19 if ( mp.count(s) ) return mp[s]; 20 return mp[s]=++top; 21 } 22 23 void update(int x,int y,int v) 24 { 25 A[x].lson=A[y].lson; 26 A[x].rson=A[y].rson; 27 A[x].w=A[y].w+v; 28 } 29 30 void change(int &rt,int root,int pos,int val,int l,int r) 31 { 32 rt=++tot; 33 update(rt,root,val); 34 if ( l==r ) return; 35 int mid=(r-l)/2+l; 36 if ( pos<=mid ) change(A[rt].lson,A[root].lson,pos,val,l,mid); 37 else change(A[rt].rson,A[root].rson,pos,val,mid+1,r); 38 } 39 40 int query(int rt,int L,int R,int l,int r) 41 { 42 if ( L<=l && r<=R ) return A[rt].w; 43 int mid=(r-l)/2+l; 44 int sum=0; 45 if ( L<=mid ) sum+=query(A[rt].lson,L,R,l,mid); 46 if ( R>mid ) sum+=query(A[rt].rson,L,R,mid+1,r); 47 return sum; 48 } 49 50 int main() 51 { 52 int q,k; 53 scanf("%d",&q); 54 for ( int i=1;i<=q;i++ ) 55 { 56 cin>>op; 57 root[i]=root[i-1],wt[i]=wt[i-1]; 58 if ( op[0]==‘s‘ ) 59 { 60 cin>>s>>k; 61 int id=getid(s); 62 int p=query(wt[i],id,id,1,inf); 63 if ( p ) change(root[i],root[i],p,-1,1,inf); 64 change(root[i],root[i],k,1,1,inf); 65 change(wt[i],wt[i],id,k-p,1,inf); 66 } 67 else if ( op[0]==‘r‘ ) 68 { 69 cin>>s; 70 int id=getid(s); 71 int p=query(wt[i],id,id,1,inf); 72 if ( p ) change(root[i],root[i],p,-1,1,inf); 73 change(wt[i],wt[i],id,-p,1,inf); 74 } 75 else if ( op[0]==‘q‘ ) 76 { 77 cin>>s; 78 int id=getid(s); 79 int p=query(wt[i],id,id,1,inf); 80 if ( !p ) printf("-1 "); 81 else if ( p==1 ) printf("0 "); 82 else printf("%d ",query(root[i],1,p-1,1,inf)); 83 fflush(stdout); 84 } 85 else if ( op[0]==‘u‘ ) 86 { 87 cin>>k; 88 root[i]=root[i-k-1]; 89 wt[i]=wt[i-k-1]; 90 } 91 } 92 return 0; 93 }
以上是关于主席树补充练习的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
BZOJ 2223 [Coci 2009]PATULJCI | 主席树练习 (好像是个权限题啊)
BZOJ 3932: [CQOI2015]任务查询系统 | 主席树练习题