随机变量以及近似函数的四种收敛形式

Posted 2020-12-04 lawyer

四种收敛的形式：

**distribution convergence**：$$X_n overset{d}{ o} X \ F_n(x) o F(x)$$ 一个随机变量的分布函数收敛于另外一个函数，也就是只关心两个随机变量/函数的分布，而不关心他们在具体值上面的关系，两个实验进行一次得到的结果没有关系，只是在宏观层面上分布相同。
**probability convergence**：
$$X_n overset{P}{ o} X \ n o infty,forall epsilon>0 , P(|F_n(x) - x|le epsilon) o 1$$
也就是当 $n$ 变大的时候，$X_n$ 实验的结果和 $X$ 差不多，当无穷次实验之后，结果趋近于$x$，实例：大数定理
**L2 convergence**：
$$X_n overset{L_2}{ o} X \ n o infty , E(F_n(x) - x)^2 o 0$$
比概率收敛更加严格的收敛形式，因为可以通过**Chebyshev**不等式得知L2收敛为概率收敛的充分条件。
**almost sure convergence**:
与概率收敛的不同为：当$n$大于某一个值的时候，要求必然有 $P(X_n = X) = 1$，比概率收敛更加严格。

总体的关系：Lx收敛 $ o$ Ly收敛 $ o$ 平均收敛 $ o$ 概率收敛 $ o$ 分布收敛
（$1 le y le x$）

其中分布收敛，概率收敛不被考虑在近似函数的收敛形式里面，例如傅里叶级数即为函数的 L2 收敛