图论 搜索bzoj1064: [Noi2008]假面舞会

Posted 2020-12-03 antiquality

做到最后发现还是读题比赛

Description

一年一度的假面舞会又开始了，栋栋也兴致勃勃的参加了今年的舞会。今年的面具都是主办方特别定制的。每个参加舞会的人都可以在入场时选择一 个自己喜欢的面具。每个面具都有一个编号，主办方会把此编号告诉拿该面具的人。为了使舞会更有神秘感，主办方把面具分为k (k≥3)类，并使用特殊的技术将每个面具的编号标在了面具上，只有戴第i 类面具的人才能看到戴第i+1 类面具的人的编号，戴第k 类面具的人能看到戴第1 类面具的人的编号。 参加舞会的人并不知道有多少类面具，但是栋栋对此却特别好奇，他想自己算出有多少类面具，于是他开始在人群中收集信息。 栋栋收集的信息都是戴第几号面具的人看到了第几号面具的编号。如戴第2号面具的人看到了第5 号面具的编号。栋栋自己也会看到一些编号，他也会根据自己的面具编号把信息补充进去。由于并不是每个人都能记住自己所看到的全部编号，因此，栋栋收集的信 息不能保证其完整性。现在请你计算，按照栋栋目前得到的信息，至多和至少有多少类面具。由于主办方已经声明了k≥3，所以你必须将这条信息也考虑进去。

Input

第一行包含两个整数n, m，用一个空格分隔，n 表示主办方总共准备了多少个面具，m 表示栋栋收集了多少条信息。接下来m 行，每行为两个用空格分开的整数a, b，表示戴第a 号面具的人看到了第b 号面具的编号。相同的数对a, b 在输入文件中可能出现多次。

Output

包含两个数，第一个数为最大可能的面具类数，第二个数为最小可能的面具类数。如果无法将所有的面具分为至少3 类，使得这些信息都满足，则认为栋栋收集的信息有错误，输出两个-1。

Sample Input

【输入样例一】
6 5
1 2
2 3
3 4
4 1
3 5
【输入样例二】
3 3
1 2
2 1
2 3

Sample Output

【输出样例一】
4 4

【输出样例二】
-1 -1

HINT

100%的数据，满足n ≤ 100000, m ≤ 1000000。

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题目分析

naive

首先会有一个很naive的想法：

对于无环的图找最大值：拓扑地从1开始标号dfs做下去，中途检查边$(u,v)$，若$v$已经被标号且$col_v≠col_u+1$，就是不合法的，随即输出"-1  -1"。

讲上去求的是最大值所以看上去很对劲是吧？

但是遇上这么一个环呢？7之后连的是2，所以判成无解。但是然而实际上$k=3$是成立的。

也就是说，简单地考虑“环缩点”或者“直接染色”是行不通的。

实际做法

学了tarjan之后不要在找环只想到tarjan！

这个问题其实建个反向边之后，可以分为两类：

1. 有环的
2. 没环的

没环的情况：树是很简单的，最大值就是所有树的最长链总和，最小值一定是3。

有环的情况：

DFS听上去很基础吧，但是切不要以为基础的东西就没什么用处。

这里依靠DFS找出每一个环的长度，并且注意到答案就是所有环长度的gcd。

可能会想到环套环的情况。不过首先DFS要永久标记访问，复杂度是$O(n)$的，不会被卡；其次我们求的是环长度的gcd，并且如果答案合法，大环长度一定是小环的倍数，所以即便大环套在小环外，也不影响最终答案。