ACM_他和她（最大生成树+最短路径）

Posted 2020-12-03 acgoto

他和她

Time Limit: 2000/1000ms (Java/Others)

Problem Description:

大二上学期刚过完，平时成绩不错的小V参加了一个小型编程比赛，遇到一道题，虽然是书上的却不会做。于是找了在机房的他帮忙。
他：什么题目这么厉害，书上有却不会？
小V：就是给若干个城市编号，也告诉了我连接这些城市的公路的距离，也有一些城市间是没有直接的路的。求从一个城市到另外一个城市的最短距离。
他：这不很简单的单向最短路径么？照书敲都行啦。
小V：不是什么比赛都能带书。
他：那你自己敲出来还不行么？
小V：不会敲..完全下不了手，我只会考试那种画图的，写代码的话连思路都没有。
他：好吧- -！思路是这样的：
    s为起点，w[u,v]为点u和v之间的边的长度（无边则长度设为一个很大的数，只要比w[]的最大值大就行），把s点到其他点的距离保存在一个数组里，假设是dis[]。
    1.初始化：起点到起点的距离dis[s]设为0，s点到其他点(v)的距离设w[s,v]，同时把所有的点都标记为未访问过，s点标记访问过。
    2.循环n-1次：
    ①在没有访问过的点中取dis[]距离最小且未访问的点u，并标记为已访问。
    ②对于每个与u相邻的点v，执行Relax(u,v)，也就是说，如果满足u点在最短路径上的距离+u到v点距离小于原本v点到最短路径上的距离就把v点到最短路径的距离更新成更短的距离。
    3.结束。此时对于任意的u，dis[u]就是s到u的距离。
小V：标记？
他：开个数组表示就行了。
小V：那我试敲下。
他：等会，顺便先判断下这些城市能不能从任意一个城市i到另外一个城市j吧。
小V：生成树？
他：这么聪明？不过判断连通不一定要生成树，你还可以用搜索、并查集，搜索就看能不能一次就搜遍，集合就看是不是它们在同一连通分量，不是就把它们合并在一个集合里，最终判断是不是全部点同属一个集合就行。
小V：那个叫什么并查集的怎么听起来跟克鲁斯卡尔算法那么像。
他：kruskal是可以用并查集优化的。不过既然你这么说了，那就干脆也求个最小生成树的值吧，即用公路长度和最小的n-1个公路将n个城市连在一起，求这n-1条路的公路长度。
小V：那代码上跟最短路那个算法有什么区别？
他：改下Relax()的条件，每加入一个点u，看其他跟该点有边的点v，v到树上的距离是不是小于u到树上源点的距离，是就更新，再把生成树上那些点的权值加起来就是答案。
大概半小时后，小V敲得差不多了。
他：看你都敲这么多了，也告诉你这么多了，不如加个难度，改求最大生成树，这样，我给你4个例子，你对照下答案。
经过比对，答案还是不对。这时他喵了一眼就看出是初始化问题，但他没有告诉她。因为他知道这是她必须跨过的坎，有多少学生能把各种算法的原理讲得很流畅，却写不出代码。
而对于她，他希望她能解决的不只是这个问题，因为这样才能实现他的心愿：一！起！刷！题！

Hints:不要轻易放弃，水题虽多，AC不易。

Input:

多组数据，每组数据第一行是两个数N,M（1<=N<=100，0<=M<=1000），N表示城市个数，城市从1开始编号，M表示公路数目，编号为1的城市为起点，编号为N的为终点，接下来有M行，每行两个整数A,B,C（1<=A,B<=N,1<=C<=1000)，表示有一条长度为C的公路连接AB两城市。数据保证1号城市不是孤立的。

Output:

如果从1号城市出发，不能到其他所有城市，则输出-1，否则按样例格式输出最大生成树的值和从1号城市到N号城市的最短距离。

Sample Input:

3 3
1 2 45
1 3 20
3 1 10
3 1
1 2 5
2 2
2 1 250
1 2 520
4 7
1 4 88
2 4 1
4 2 50
3 1 6
4 1 1000
4 3 30
2 3 100

Sample Output:

spanning tree:65 shortest distance:10
-1
spanning tree:520 shortest distance:250
spanning tree:1150 shortest distance:36
解题思路：最大生成树即将prim算法中每次找最小权值改为找最大权值，每加入一个点更新一下用最大权值代替原来的最小值即可。这题还要考虑重边的情况，简单处理，简单水过。
AC代码：

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 const int maxn=105;
 4 const int INF=0x3f3f3f3f;
 5 int n,m,a,b,c,maxcost[maxn],dist[maxn],G[maxn][maxn],cost[maxn][maxn];bool vis[maxn],used[maxn];
 6 int prim(){//最大生成树
 7     for(int i=1;i<=n;++i)maxcost[i]=G[1][i];
 8     maxcost[1]=0;used[1]=true;
 9     int res=0;
10     for(int i=1;i<n;++i){
11         int k=-1;
12         for(int j=1;j<=n;++j)
13             if(!used[j]&&(k==-1||maxcost[k]<maxcost[j]))k=j;//每次找最大边权
14         if(k==-1)break;
15         used[k]=true;res+=maxcost[k];
16         for(int j=1;j<=n;++j)
17             if(!used[j])maxcost[j]=max(maxcost[j],G[k][j]);//更新周围点到已经归纳点的集合的最小权值
18     }
19     return res;
20 }
21 int dijkstra(){//最短路径
22     for(int i=1;i<=n;++i)dist[i]=cost[1][i];
23     dist[1]=0;vis[1]=true;
24     for(int i=1;i<n;++i){
25         int k=-1;
26         for(int j=1;j<=n;++j)
27             if(!vis[j]&&(k==-1||dist[k]>dist[j]))k=j;
28         if(k==-1)break;
29         vis[k]=true;
30         for(int j=1;j<=n;++j)
31             if(!vis[j])dist[j]=min(dist[j],dist[k]+cost[k][j]);
32     }
33     return dist[n];
34 }
35 int main(){
36     while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
37         memset(vis,false,sizeof(vis));//全部初始化为未访问状态即false
38         memset(used,false,sizeof(used));
39         for(int i=1;i<=n;++i){
40             for(int j=1;j<=n;++j){
41                 G[i][j]=(i==j?0:-INF);//求最大生成树：初始化为最小值-INF
42                 cost[i][j]=(i==j?0:INF);//求最短路径：初始化为最大值INF
43             }
44         }
45         for(int i=1;i<=m;++i){
46             scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
47             G[a][b]=G[b][a]=max(G[a][b],c);//去重，代替最小权值
48             cost[a][b]=cost[b][a]=min(cost[a][b],c);//去重，代替最大权值
49         }
50         int ok=prim();
51         if(ok<=0)cout<<-1<<endl;//如果不大于0，说明不能从1到达n，直接输出-1
52         else cout<<"spanning tree:"<<ok<<" shortest distance:"<<dijkstra()<<endl;
53     }
54     return 0;
55 }