邻接矩阵的应用

Posted 2020-12-03 2020pengxiyue

在近期的学习中，了解到了关于邻接矩阵的一些有用的应用， 再次做一些记录。

邻接矩阵的记录

邻接矩阵分为两种， 一种存的是边权（记作D）， 即

　　

还有一种是没有边权的， 记录的是连通关系（记作A）， 即

　　

连通性邻接矩阵在矩阵的幂定义下的意义

　　对于表示连通关系的矩阵A在矩阵的幂定义下有一下的意义：

传递闭包（floyd）

　　对于矩阵A（连通性邻接矩阵），对其作如下运算

　　

　　所求的就是对于A所描述的图的点与点之间的连通性。时间复杂度在级别，而这实际上是以路径长度为阶段的动态规划。

　　相较于此，如果我们把图的规模作为阶段进行递推的话，就是Floyd

　　

　　这样的时间复杂度就在了。

　　而将这个扩展到矩阵D（权值矩阵）上后， 就有了Floyd求多源最短路的方法。