Luogu P3320 [SDOI2015]寻宝游戏 / 异象石 LCA/set

Posted 2020-12-03 nopartyfoucaodong

期末考试结束祭！

在期末考试前最后一发的测试中，异象石作为第二道题目出现QAQ。虽然知道是LCA图论，但还是敲不出来QAQ。

花了两天竞赛课的时间搞懂（逃

异象石
(stone.pas/c/cpp)
题目描述
Adera 是 Microsoft 应用商店中的一款解谜游戏。
异象石是进入 Adera 中异时空的引导物，在 Adera 的异时空中有一张地图。这张地图上
有 N 个点，有 N-1 条双向边把它们连通起来。起初地图上没有任何异象石，在接下来的 M
个时刻中，每个时刻会发生以下三种类型的事件之一：
1. 地图的某个点上出现了异象石（已经出现的不会再次出现）；
2. 地图某个点上的异象石被摧毁（不会摧毁没有异象石的点）；
3. 向玩家询问使所有异象石所在的点连通的边集的总长度最小是多少。
请你作为玩家回答这些问题。
输入格式
第一行有一个整数 N，表示点的个数。
接下来 N-1 行每行三个整数 x,y,z，表示点 x 和 y 之间有一条长度为 z 的双向边。
第 N+1 行有一个正整数 M。
接下来 M 行每行是一个事件，事件是以下三种格式之一：
+ x 表示点 x 上出现了异象石
- x 表示点 x 上的异象石被摧毁

输出格式

对于每个？事件，输出一个整数表示答案。

样例输入
6
1 2 1
1 3 5
4 1 7
4 5 3
6 4 2
10
+ 3
+ 1
?
+ 6 

？

+ 5

？

- 6

- 3

？

 

样例输出
5
14
17
10
数据范围与约定
对于 30%的数据，1?≤?n, m?≤?1000。
对于另 20%的数据，地图是一条链，或者一朵菊花。
对于 100%的数据，1?≤?n, m?≤?105, 1?≤?x, y?≤?n, x?≠?y, 1?≤?z?≤?109。

 

我们先来考虑简单的情况。处理出每个点到树根的距离d[]后，如果此时地图上有两个点，那么使它们联通所需的边集总长度最小即为

d[x]+d[y]-2*d[LCA(x,y)]

这也是树上两点路径的算法。QAQ。

静态的还好说，可是这里是动态维护的，中间既有可能新加石头，也可能移走石头。

我们再来看多个石头的情况。

 

假设黄色是异象石，那么我们要求的就是标红边的线。（从此处开始，对LCA（x,y）的叙述就是x,y两点的距离 ) 那么标红边的线就是

LCA(1,2)+LCA(2,3)+LCA(3,1)的1/2，LCA(1,2)+LCA(2,3)+LCA(3,1)即为寻宝游戏的答案。

也就是图中被红圈包围起来边权的1/2啦 QAQ。

画再复杂一点的图我们不难发现我们求得，答案就是相邻节点路径之和，头尾也算相邻。

因此我们可以预处理出欲求节点间的最近公共祖先的f数组，还有用倍增思想求出的dis[][]，dis[i][j]即为从i节点向上走2^j步的路径权值。

怎么处理相邻呢?这里可以用时间戳和dfs序解决，dfs一遍就可以求得。我们设v[]为时间戳，a[]为dfs序。

理解的话，就是v[i]为第i节点被访问的顺序，a[x]为时间戳为x的节点编号。

另外动态维护的时候可以用到set。对于这么一个高深的stl容器，蒟蒻当然要一番学习。set是一个有序集合，我们还可以利用它的迭代器

（注 ：迭代器可以理解成stl里的指针 用iterator声明）

另外我们在返回迭代器时返回的是指针，要真正的那个值就要“解除引用”， 即“ * ”符号

另外set集合里存的是时间戳。

这个地方思维有点混乱QAQ大家可以在代码里看注释，注释里写的很清楚（吧）。

code

  1 #include<iostream>
  2 #include<cstdio>
  3 #include<algorithm>
  4 #include<cmath>
  5 #include<queue>
  6 #include<set>
  7 #include<cstring>
  8 using namespace std;
  9 typedef long long ll;
 10 const int MAXN=100090;
 11 int y,tot,head[MAXN],n,m,t,f[MAXN][100],visit[MAXN],a[MAXN];
 12 ll ans,d[MAXN],dis[MAXN][100];
 13 struct node{
 14     int to,next;
 15     ll val;
 16 }edge[2*MAXN];
 17 set<int> s;
 18 typedef set<int>::iterator It;// 定义一个迭代器的简称 
 19 It it;//定义一个迭代器 
 20 void add(int x,int y,ll z)
 21 {
 22     edge[++tot].to=y;
 23     edge[tot].val=z;
 24     edge[tot].next=head[x];
 25     head[x]=tot;
 26 }
 27 void bfs()
 28 {
 29     queue<int>q;
 30     q.push(1);
 31     d[1]=1;visit[1]=1;
 32     while(!q.empty())
 33     {
 34         int x=q.front();
 35         q.pop();
 36         for(int i=head[x];i;i=edge[i].next)
 37         {
 38             int y=edge[i].to;
 39             if(!visit[y])
 40             {
 41                 q.push(y);visit[y]=1;
 42                 d[y]=d[x]+1;
 43                 f[y][0]=x,dis[y][0]=edge[i].val;
 44                 for(int j=1;j<=t;j++)
 45                 {//预处理出倍增思想的f数组和dis数组 
 46                     f[y][j]=f[f[y][j-1]][j-1];
 47                     dis[y][j]=dis[f[y][j-1]][j-1]+dis[y][j-1];
 48                 }                
 49             }
 50         }
 51     }
 52 }
 53 void dfs(int x)
 54 {//求出时间戳和dfs序，visit[]此时的作用是时间戳，a[]的作用是dfs序 
 55     visit[x]=++tot;a[tot]=x;
 56     for(int i=head[x];i;i=edge[i].next)
 57      if(!visit[edge[i].to]) dfs(edge[i].to);
 58 }
 59 inline It L(It it)
 60 {// s.end()返回集合中最大元素的下一个位置的迭代器
 61     if(it==s.begin()) return --s.end();
 62     return --it; //直接减即可 因为在没有insert()之前，新加入的异象石的左右相邻节点是相邻的！ 
 63 }
 64 inline It R(It it)
 65 {
 66     if(it==--s.end()) return s.begin();
 67     return ++it;
 68 }
 69 ll LCA(int x,int y)
 70 {
 71     ll ans=0; 
 72     if(d[x]>d[y]) swap(x,y);
 73     for(int i=t;i>=0;i--)
 74      if(d[f[y][i]]>=d[x]) ans+=dis[y][i],y=f[y][i];
 75     if(x==y) return ans;
 76     for(int i=t;i>=0;i--)
 77      if(f[x][i]!=f[y][i]) ans+=dis[x][i]+dis[y][i],x=f[x][i],y=f[y][i];
 78     return ans+dis[x][0]+dis[y][0];
 79 }
 80 int main()
 81 {
 82     freopen("stone.in","r",stdin);
 83     freopen("stone.out","w",stdout);
 84     scanf("%d",&n);t=log2(n)+1;
 85     for(int i=1;i<=n-1;i++)
 86     {
 87         int x=0,y=0;
 88         ll z=0;
 89         scanf("%d%d%lld",&x,&y,&z);
 90         add(x,y,z);
 91         add(y,x,z); //建图 
 92     }
 93     bfs();//预处理 
 94     memset(visit,0,sizeof(visit)); tot=0;//注意清零！ visit数组前后意义不一样了 
 95     dfs(1);
 96     scanf("%d",&m);
 97     for(int i=1;i<=m;i++)
 98     {
 99         int x=0;
100         char ch;
101         cin>>ch;
102         if(ch==‘+‘)
103         {//改变一个异象石时 需要来考虑和它左边相邻的，右边相邻的 
104             scanf("%d",&x);
105             if(s.size())
106             {
107                 it=s.lower_bound(visit[x]);//找出与它右相邻的 
108                 if(it==s.end()) it=s.begin();//特殊情况的处理 
109                 y=*L(it);//找它的左相邻 
110                 ans+=LCA(x,a[y])+LCA(x,a[*it])-LCA(a[y],a[*it]);
111                 //加上到左端点、右端点的距离，再减去左右端点互达的距离 
112             }
113             s.insert(visit[x]);//set里面存的是时间戳 
114         }
115         if(ch==‘-‘)
116         {//set中元素一定不为空 
117             scanf("%d",&x);
118             it=s.find(visit[x]);
119             y=*L(it),it=R(it);//同理，找出他当前的左右相邻节点 
120             ans-=LCA(x,a[y])+LCA(x,a[*it])-LCA(a[y],a[*it]);
121             s.erase(visit[x]);
122         }
123         if(ch==‘?‘) printf("%lld
",ans/2);
124     }
125     return 0;
126 } 

View Code

寻宝游戏和这道题本质是一样的，只需稍加改动，无伤大雅。

code

  1 #include<iostream>
  2 #include<cstdio>
  3 #include<algorithm>
  4 #include<cmath>
  5 #include<queue>
  6 #include<set>
  7 #include<cstring>
  8 using namespace std;
  9 typedef long long ll;
 10 const int MAXN=100090;
 11 int y,tot,head[MAXN],n,m,t,f[MAXN][100],visit[MAXN],a[MAXN];
 12 ll ans,d[MAXN],dis[MAXN][100];
 13 struct node{
 14     int to,next;
 15     ll val;
 16 }edge[2*MAXN];
 17 set<int> s;
 18 typedef set<int>::iterator It;
 19 It it;
 20 void add(int x,int y,ll z)
 21 {
 22     edge[++tot].to=y;
 23     edge[tot].val=z;
 24     edge[tot].next=head[x];
 25     head[x]=tot;
 26 }
 27 void bfs()
 28 {
 29     queue<int>q;
 30     q.push(1);
 31     d[1]=1;visit[1]=1;
 32     while(!q.empty())
 33     {
 34         int x=q.front();
 35         q.pop();
 36         for(int i=head[x];i;i=edge[i].next)
 37         {
 38             int y=edge[i].to;
 39             if(!visit[y])
 40             {
 41                 q.push(y);visit[y]=1;
 42                 d[y]=d[x]+1;
 43                 f[y][0]=x,dis[y][0]=edge[i].val;
 44                 for(int j=1;j<=t;j++)
 45                 {
 46                     f[y][j]=f[f[y][j-1]][j-1];
 47                     dis[y][j]=dis[f[y][j-1]][j-1]+dis[y][j-1];
 48                 }                
 49             }
 50         }
 51     }
 52 }
 53 void dfs(int x)
 54 {
 55     visit[x]=++tot;a[tot]=x;
 56     for(int i=head[x];i;i=edge[i].next)
 57      if(!visit[edge[i].to]) dfs(edge[i].to);
 58 }
 59 inline It L(It it)
 60 {
 61     if(it==s.begin()) return --s.end();
 62     return --it; 
 63 }
 64 inline It R(It it)
 65 {
 66     if(it==--s.end()) return s.begin();
 67     return ++it;
 68 }
 69 ll LCA(int x,int y)
 70 {
 71     ll ans=0; 
 72     if(d[x]>d[y]) swap(x,y);
 73     for(int i=t;i>=0;i--)
 74      if(d[f[y][i]]>=d[x]) ans+=dis[y][i],y=f[y][i];
 75     if(x==y) return ans;
 76     for(int i=t;i>=0;i--)
 77      if(f[x][i]!=f[y][i]) ans+=dis[x][i]+dis[y][i],x=f[x][i],y=f[y][i];
 78     return ans+dis[x][0]+dis[y][0];
 79 }
 80 int main()
 81 {
 82     scanf("%d%d",&n,&m);t=log2(n)+1;
 83     for(int i=1;i<=n-1;i++)
 84     {
 85         int x=0,y=0;
 86         ll z=0;
 87         scanf("%d%d%lld",&x,&y,&z);
 88         add(x,y,z);
 89         add(y,x,z); 
 90     }
 91     bfs();
 92     memset(visit,0,sizeof(visit)); tot=0;
 93     dfs(1);
 94     for(int i=1;i<=m;i++)
 95     {
 96         int x=0;
 97         scanf("%d",&x);
 98         if(!s.count(visit[x]))
 99         {
100             if(s.size())
101             {
102                 it=s.lower_bound(visit[x]);
103                 if(it==s.end()) it=s.begin();
104                 y=*L(it);
105                 ans+=LCA(x,a[y])+LCA(x,a[*it])-LCA(a[y],a[*it]);
106             }
107             s.insert(visit[x]);
108         }
109         else
110         {
111             it=s.find(visit[x]);
112             y=*L(it),it=R(it);
113             ans-=LCA(x,a[y])+LCA(x,a[*it])-LCA(a[y],a[*it]);
114             s.erase(visit[x]);
115         }
116         printf("%lld
",ans);
117     }
118     return 0;
119 } 

View Code

这篇文章可以说是虎头蛇尾了！

end