洛谷 P2513 ——逆序对数列

Posted 2023-02-20 业余算法学徒

题目描述
对于一个数列 $a_i$，如果有 $i<j$ 且 $a_i>a_j$，那么我们称 $a_i$ 与 $a_j$ ​ 为一对逆序对数。

若对于任意一个由 $1\sim n$ 自然数组成的数列，可以很容易求出有多少个逆序对数。

那么逆序对数为 $k$ 的这样自然数数列到底有多少个？

输入格式
第一行为两个整数 $n，k$。

输出格式
写入一个整数，表示符合条件的数列个数，由于这个数可能很大，你只需输出该数对 $10000$ 求余数后的结果。

输入样例
4 1

输出样例
3

样例说明
下列 $3$ 个数列逆序对数都为 $1$，分别是:

• 1 2 4 3 ；
• 1 3 2 4 ；
• 2 1 3 4；

数据范围
$n，k\le 1000$

---

题解一（超时）：线性DP

$f[i][j]：由1\sim i组成的逆序对数量为j的数列个数$

$状态转移：$

• $考虑第i个数的放置情况，由于i的数值最大，因此根据不同的放置位置，可以产生的逆序对数量为0\sim i-1$
• $因此f[i][j]+={\sum }_{r=j-(i-1)}^j(f[i-1][r])$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1010, MOD = 1e4;

int n, k;
int dp[N][N];

int main()

	cin >> n >> k;
	
	dp[1][0] = 1;
	for (int i = 2; i <= n; i ++)
		for (int j = 0; j <= k; j ++)
			for (int r = j - (i - 1); r <= j; r ++)
				if(r >= 0) 
					dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i - 1][r]) % MOD;
				
	cout << dp[n][k] << endl;
	return 0;			

题解二：线性DP（优化）

• $由于是从j开始，往前数连续i个数$
• $因此，当计算f[i][j+1]的时候，是在f[i][j]的基础上，要先加上f[i-1][j+1]，再减去f[i-1][j-(i-1)]$
• $所以在计算f[i][j]时，要先加上f[i-1][j]，再减去f[i-1][j-i]$

f[i][j]     = f[i - 1][j - (i - 1)] + f[i - 1][j - (i - 2)] + ... + f[i - 1][j - 1] + f[i - 1][j]
f[i][j + 1] =                         f[i - 1][j - (i - 2)] + ... + f[i - 1][j - 1] + f[i - 1][j] + f[i - 1][j + 1]

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1010, MOD = 1e4;

typedef long long LL;

int n, k;
int dp[N][N];

int main()

	cin >> n >> k;
	
	dp[1][0] = 1;
	for (int i = 2; i <= n; i ++)
	
		LL sum = 0;
		for (int j = 0; j <= k; j ++)
		
			sum += dp[i - 1][j];
			if(j - i >= 0) sum -= dp[i - 1][j - i];
			dp[i][j] = sum % MOD;
		
	
				
	cout << dp[n][k] << endl;
	return 0;