树-概念性总结及代码示例

Posted 2020-12-02 stormax

总览：

• 树的基本概念
• 二叉树
• 树和森林
• 树与二叉树的应用

 

1. 树的基本概念
   1. 树的定义：若干结点的集合，有唯一根结点，无环，结点个数可为0
   2. 树的基本术语：
      1. 结点的度：结点拥有的子树个数或者分支的个数
      2. 树的度：结点的度的最大值
      3. 叶子结点：终端结点
      4. 非终端结点：分支结点
      5. 树的深度：树中结点的最大层次数
      6. 结点的深度：从根结点到该结点路径上结点的个数
      7. 结点的高度：子树的深度
      8. 有序树与无序树
      9. 丰满树：理想平衡树，除最底层外其他都是满的
      10. 森林
   3. 树的存储结构
      1. 顺序存储结构
      2. 链式存储结构
         1. 孩子存储结构
         2. 孩子兄弟存储结构
2. 二叉树
   1. 二叉树的定义
      1. 满二叉树：所有分支结点都有左儿子和右儿子，并且叶子结点都集中在最下一层
      2. 完全二叉树：除最后一层是满二叉树
   2. 二叉树的主要性质（教材P123）
      1. 在二叉树的第i层上之多有2^(i-1)个结点
      2. 深度为k的二叉树至多有(2^k)– 1个结点
      3. 对任何一颗二叉树T，如果其终端结点数为N0，度为2的结点数为N2，则N0 = N2 + 1
      4. 具有n个结点的完全二叉树的深度为[log2n] + 1 （向下取整）
      5. 如果一颗有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号，则对任一结点i（1 <= I <= n）,有
         1. 如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则其双亲PARENT(i)是结点[i/2]（向下取整）
         2. 如果2i > n，则结点i无左孩子（结点i为叶子结点）；否则其左孩子LCHILD(i)是结点2i
         3. 如果2i + 1 > n，则结点i无右孩子；否则其右孩子RCHILD(i)是结点2i + 1
   3. 二叉树的存储结构
      1. 顺序存储结构：仅适用于完全二叉树，对于一般的二叉树会浪费大量存储空间
      2. 链式存储结构：最简单的存储结构 （左孩子，数据域，右孩子）
   4. 二叉树的遍历算法
      1. 先序遍历
      2. 中序遍历
      3. 后序遍历
   5. 二叉树遍历算法的改进
      1. 非递归实现：通过栈模拟递归的实现
      2. 线索二叉树：利用树中的空指针域记录结点的前驱
3. 树和森林与二叉树的相互转换
   1. 树 à 二叉树：右兄弟变右儿子
   2. 二叉树 à 树：右儿子变右兄弟
   3. 森林 à 二叉树：每棵树先转化为二叉树，然后从后往前将该树变为前一棵树的右儿子，直到变成一棵二叉树
   4. 二叉树 à 森林：砍右儿子，变成树
   5. 树和森林的遍历
      1. 先序遍历
      2. 后序遍历
4. 树与二叉树的应用
   1. 二叉排序树与二叉平衡树
   2. 哈夫曼树和哈夫曼编码
      1. 相关概念:
         1. 路径：指从树的一个结点到另一个结点的分支所构成的路径。
         2. 路径长度：指路径上的分支数目。
         3. 树的路径长度：指从根到每个结点的路径长度之和。
         4. 带权路径长度：结点具有权值，从该结点到根之间的路径长度乘结点的权值，就是该结点的带权路径长度
         5. 树的带权路径长度（WPL）：树中所有叶子结点的带权路径长度之和
      2. 构造方法：
         1. 将这n个权值跟别看成只有根节点的n棵二叉树，这些二叉树构成的集合记为F。
         2. 从集合F中取出权值最小的两个结点a,b构成一颗新的二叉树c，新二叉树的根节点的权值为其子结点的权值之和。
         3. 删去a，b，加入新构造的树c
         4. 重复2,3，直到F中只剩下一棵树位为止，这棵树就是哈夫曼树
      3. 哈夫曼树的特点：
         1. 权值越大的结点，距离根节点越近
         2. 树中没有度为1的结点。
         3. 树的带权路径长度最短。
      4. 哈夫曼编码
         1. 前缀码：任一字符的编码串都不是另一个字符编码串的前缀
         2. 哈夫曼编码产生最短的前缀码
      5. 哈夫曼n叉树
         1. 无法构造时补0