多重小数部分和的渐近式

Posted 2020-12-02 pengdaoyi

多重小数部分和的渐近式

最近（6月），我和马明辉考虑了如下 $k$ 重和式

egin{equation}label{eq:1}
sum_{n_1=1}^{N} sum_{n_2=1}^{N}dotsc sum_{n_{k}=1}^{N}
left{ frac{N}{n_1+n_2+dotsb+n_k} ight}
end{equation}
的渐近估计，${cdot }$ 表示小数部分．和式取遍不超过 $N$ 的正整数 $n_1,n_2,dotsc, n_k inmathbb{N}_{+}$.

当 $k=1$ 时，eqref{eq:1} 式可由著名的 Dirichlet 除数问题得到，我们有
egin{equation}label{eq:2}
sum_{n_1=1}^{N} left{ frac{N}{n_1} ight} = (1-gamma) N + Oig(sqrt{N}ig)
end{equation}
其中 $gamma$ 是 Euler 常数．迄今， eqref{eq:2} 式中余项最好的上界估计是 M.N. Huxley (2003) 的结果：
egin{equation*}
Oleft( N^{131/416} (log N)^{26947/8320} ight).
end{equation*}

特别地，当 $k=2,3,4$ 时，我们证明了如下结果：
egin{align*}
sum_{n_1=1}^{N} sum_{n_2=1}^{N} left{ frac{N}{n_1+n_2} ight}
& = left(2log2-frac{zeta(2)}{2} ight)N^2+O(Nlog N) \
sum_{n_1=1}^{N} sum_{n_2=1}^{N} sum_{n_3=1}^{N} left{ frac{N}{n_1+n_2+n_3} ight} & = left(frac{9}{2}log 3 - 6log 2 - frac{zeta(3)}{6} ight) N^3
+ O(N^2) \
sum_{n_1=1}^{N} sum_{n_2=1}^{N} sum_{n_3=1}^{N} sum_{n_4=1}^{N} left{ frac{N}{n_1+n_2+n_3+n_4} ight} & = left(frac{88}{3}log 2 - 18 log 3 - frac{zeta(4)}{24} ight)N^{4} + O(N^3) \
sum_{n_1=1}^{N} sum_{n_2=1}^{N} sum_{n_3=1}^{N} sum_{n_4=1}^{N} sum_{n_5=1}^{N} left{ frac{N}{n_1+n_2+n_3+n_4+n_5} ight} & = left(frac{625}{24}log 5+ frac{135}{4}log 3 - frac{340}{3}log 2 - frac{zeta(5)}{120} ight)N^{5} + O(N^4).
end{align*}

当然我们也证明了 $k$ $(kgeqslant 2)$ 重和式的渐近公式．