欧拉定理

Posted 2020-12-02 yanxiujie

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欧拉定理:

内容：

若正整数(a,n)(color{red}{互质})，则(a^{varphi (n)})(equiv) $1(mod $ (n)) 其中(varphi (n))是欧拉函数$(1 $~ (n))与(n)互质的数

证明：

设(x_1,x_2,x_{varphi (n)})是(1)到(n)中与(n)互质的数
这些数有如下性质：
(1).任意两个数模(n)余数不同。因为这些数比(n)小，且互不相同，所以他们模完之后是本身，那么余数一定互不相同。
(2).对于任意的(ax_i(mod) (n))都与(n)互质。啊，这个咋讲啊，(emmmm)还是借鉴我看的博客的思路吧，我们考虑如果(n)做分母(a)做分子，那这是一个最简分数，不能再约分，因为(n)与(a)互质没有公约数了，同理把分子换成(x_i)也是这样的，他俩单独的与(n)都没有公约数，就算乘起来他们也没有公约数的。

据说我们可以巧妙的发现（我并没有去验证）集合({)(ax_1(mod) (n)),(ax_2(mod) (n))......(ax_{varphi (n)}(mod) (n))(})其实是与集合({)(x_1,x_2......x_{varphi (n)})(})是一样一样的，所以他们里边所有的元素乘起来也是相等的。由此(ax_1 * ax_2 *...... * ax_{varphi(n)}) (equiv) (x_1*x_2*......*x_{varphi(n)}) ((mod) (n))于是我们可以得到((a^{varphi(n)}-1)) (x_1 * x_2 * ......x_{varphi(n)}) (equiv 0) ((mod n))
因为左边括号外边的那些东西是与(n)互质的所以(a^{varphi(n)} -1| n) 那么，(a^{varphi(n)} equiv 1 (mod n))

个人感觉上边证的很乱，自己也没实际去试试是否那俩集合是一样的

欧拉定理的推论：

若正整数(a,n)互质，那么对于任意正整数(b)有(a^bequiv a^{b mod varphi(n)} (mod n))
证明类似于费马小定理

欧拉定理的推论可以帮助我们求幂运算的时候缩小数据范围和计算次数，一个数对(mod)取模可以先对底数取再把指数对(b mod varphi(n))取模

谢谢收看， 祝身体健康！