CF1225E题解 Rock Is Push

Posted 2020-12-01 lost-in-tianyi

在打CF的时候没想到www这个dp真的蛮巧妙的

这是一道dp题（废话

假设我们走到了((i,j))位置，因为我们只能下移/右移，那么我们所有上方与左方的石块（即({ (i,j)|i<n space || space j<m })的石块）不管被推到那里都与我无瓜（可以画几张图略推一推，还是比较明显），即该题无后效性，可用dp求解。

合在一起不是很好算，我们可以考虑将右移与下移分开对其进行dp。

因此我们可以用数组(rs,ds)来记录某位置右边的石头数量以及下方的石头数量，因为只有这些石头对((i,j))的状态转移有关

设二维状态数组(r,d)，表示在((i,j))位置时下一步向右（(r)）或向下（(d)）走，到达目标位置((n,m))的方案总数，由定义可得(r[n][m]=d[n][m]=1)。

重点来惹w：状态转移方程

之所以说这道题巧妙，一是因为它分成了(r,d)两块来dp，再一个就是状态转移方程了。

如上图所示，假设我们在黄色格子((i,j))，蓝色圆形为石头，虚线为石头移动轨迹。那么易得(ds[i][j]=1)（(rs)定义忘了的看上文）。因为我们下一步必须向下走，所以我们可以选择连续走(1)步、(2)步、...一直到(n-i-ds[i][j])步为止，此时下面的石头刚好全部被一个接一个地推到了墙上排好。因此状态转移方程即

[d[i][j]=sum_{k=1}^{n-i-ds[i][j]}r[i][j+k]]

[r[i][j]=sum_{k=1}^{m-i-rs[i][j]}d[i+k][j]]

（提前解一个疑：这里对(r)数组进行求和而非(d)数组求和的原因是我们连续往下走了(k)步后下一步应该往右，因此这里用(r)，反之亦然）

想想还是蛮巧的（或者是窝太弱啦qaq

当然一个一个枚举(r[i][j+k],d[i+k][j])肯定会超时，因此这里我们使用前缀和保存。

如果还有点没懂的dalao们可以看看蒟蒻代码里的注释www~

code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n , m , r[2100][2100] , d[2100][2100] , ds[2100][2100] , rs[2100][2100];
long long sumr[2100][2100] , sumd[2100][2100];
const int mod = 1e9 + 7;
char s[2100];
//d:down r:right
int main()
{
    scanf("%d%d" , &n , &m);
    for(register int i = 1 ; i <= n ; i++ )
    {
        scanf("%s" , s + 1);
        for(register int j = 1 ; j <= m ; j++ )
        {
            if(s[j] == 'R') rs[i][j] = 1 , ds[i][j] = 1;
        }
    }
    if(n == 1 && m == 1)
    {
        cout << (rs[1][1] ^ 1);
        return 0;
    }
    for(register int i = n ; i >= 1 ; i-- )
    {
        for(register int j = m ; j >= 1 ; j-- )
        {
            ds[i][j] += ds[i][j + 1];
            rs[i][j] += rs[i + 1][j];
        }
    }
    r[n][m] = d[n][m] = sumd[n][m] = sumr[n][m] = 1;
    for(register int i = n ; i >= 1 ; i-- )
    {
        for(register int j = m ; j >= 1 ; j-- )
        {
            if(i == n && j == m) continue;
            r[i][j] = (sumd[i][j + 1] - sumd[i][m - ds[i][j + 1] + 1]) % mod;
            d[i][j] = (sumr[i + 1][j] - sumr[n - rs[i + 1][j] + 1][j]) % mod;
            //+1 : sum±?±?  n - ds : ?′i + (n - i - ds)?ˉ?òoóμ??á1?.
            //d[i][j] : ′?2??ò??×?oóóD?????é?üμ?(n , m); r[i][j] : ?òóò×?
            //ds[i][j] : (i , j) ????óD?àéù?éêˉí· , rs[i][j] : (i , j)óò±? 
            //d[i][j] = sum(r[n - i - 1...ds[i][j + 1] + i][j]) , rí?àí
            //òa?a?ú??ò????òóò×????°￡??????ò??×?1...ds[i][j + 1]′?￡?è?oó?ù?ò??×?μ?·?°?êy??oí?￡
            //?é??www
            sumr[i][j] = (sumr[i + 1][j] + r[i][j]) % mod; 
            sumd[i][j] = (sumd[i][j + 1] + d[i][j]) % mod; 
        }
    }
    /*for(register int i = 1 ; i <= n ; i++ )
    {
        for(register int j = 1 ; j <= m ; j++ )
        {
            cout << d[i][j] << ' ';
        }
        cout << endl;
    }
    cout << endl;
    for(register int i = 1 ; i <= n ; i++ )
    {
        for(register int j = 1 ; j <= m ; j++ )
        {
            cout << r[i][j] << ' ';
        }
        cout << endl;
    }*/
//  cerr << r[1][1] << " " << d[1][1] << endl;
    cout << ((r[1][1] + d[1][1]) % mod + mod) % mod;
    return 0;
}