[CSP-S模拟测试]:走路（期望DP+分治消元）

Posted 2020-12-01 wzc521

题目传送门（内部题100）

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输入格式

　　第一行两个整数$n,m$，接下来$m$行每行两个整数$u,v$表示一条$u$连向$v$的边。不保证没有重边和自环。

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输出格式

　　$n-1$行每行一个整数，第$i$行表示$k=i+1$时的答案。对$998244353$取模。

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样例

样例输入：

3 6
1 1
1 2
2 1
2 2
1 3
3 1

样例输出：

4
5

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数据范围与提示

数据范围：

　　对于$25\\%$的数据，$nleqslant 50$。
　　对于另外$20\\%$的数据，前$m-1$条边满足$u<v$。
　　对于另外$15\\%$的数据，不存在$u,v$使得$u!=v$且$min(u,v)>1$。
　　对于$100\\%$的数据，$1leqslant nleqslant 300,1leqslant mleqslant 10^5,1leqslant u,vleqslant n$。

提示：

　　对于质数$p$和有理数$frac{a}{b}(bmod p>0)$，存在恰好一个整数$c$满足$0leqslant c<p$且$aequiv bc(mod p)$，我们称$c$为$frac{a}{b}$对$p$取模的结果。

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题解

概率正着推，期望倒着推。

不妨设$f[i]$表示从$i$出发走到$k$的期望步数，那么可以列出式子：

$$f[i]=sum frac{f[j]}{du[i]}+1$$

$f[k]=0$

其中$j$是$i$的所有出边所能到达的点，$du[i]$则为$i$的出度。

那么枚举所有的$k$，然后暴力高斯消元即可拿到$25$分。

考虑优化，因为高斯消元中一段的值可以对很多$k$做贡献，所以我们可以用分治消元。

原理就是：对于区间$[l,r]$，先消$[mid+1,r]$，然后继续递归$[l,mid]$，递归之后再消$[l,mid]$，接着递归$[mid+1,r]$。

时间复杂度：$Theta(n^3log n)$。

期望得分：$100$分。

实际得分：$100$分。

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代码时刻

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=998244353;
int n,m;
int du[301],top;
long long Map[301][302],ans[301];
long long qpow(long long x,long long y)
{
	long long res=1;
	while(y)
	{
		if(y&1)res=res*x%mod;
		x=x*x%mod;y>>=1;
	}
	return res;
}
void gauss(int x,int l,int r)
{
	long long inv=qpow(Map[x][x],mod-2);
	for(int i=1;i<=n+1;i++)Map[x][i]=Map[x][i]*inv%mod;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(i==x)continue;
		long long flag=Map[i][x];
		for(int j=l;j<=r;j++)
			Map[i][j]=(Map[i][j]-Map[x][j]*flag)%mod;
		Map[i][n+1]=(Map[i][n+1]-Map[x][n+1]*flag)%mod;
	}
}
void solve(int l,int r)
{
	if(l==r){ans[l]=(Map[1][n+1]+mod)%mod;return;}
	int mid=(l+r)>>1;int wzc[301][302];
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n+1;j++)
			wzc[i][j]=Map[i][j];
	for(int i=mid+1;i<=r;i++)gauss(i,l,r);
	solve(l,mid);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n+1;j++)
			Map[i][j]=wzc[i][j];
	for(int i=l;i<=mid;i++)gauss(i,l,r);
	solve(mid+1,r);
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int u,v;
		scanf("%d%d",&u,&v);
		Map[u][v]++;du[u]++;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=n;j++)
			Map[i][j]=Map[i][j]*qpow(du[i],mod-2)%mod;
		Map[i][i]+=(Map[i][n+1]=-1);
	}
	solve(1,n);
	for(int i=2;i<=n;i++)printf("%d
",ans[i]);
}

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