图论基础——最短路算法集锦

Posted 2020-12-01 jhl0824

最短路算法有个基础——————松弛操作（在大多数最短路算法都会涉及）

if(d[e[i].v]>d[e[i].u]+w[i])//如果这条边的终点到源点的距离大于起点到源点距离，就替换。
{
  d[e[i].v]>d[e[i].u]+w[i];      
}

最短路算法一共有多少种方法我不知道，在这里我只想记录4种：

•Dijkstra:求单源点最短路（不含负边权）

•Bellman-ford：求单源点最短路（可含负边权）

•SPFA（使用队列优化后的Bellman-ford）

•Floyd：求各点间的最短路（可含负边权）

Firstly，Bellman-Ford算法

•算法步骤：

1、初始化：将除源点外的所有顶点最短距离估计值d[v]=inf,d[s]=0；

2、迭代求解：反复对边集E中每条边进行松弛操作，使得顶点集V中每个顶点v的最短距离估计值逐步逼近其最短距离；

3、检验负权回路：如果有存在点v，使得d[v]>d[u]+w[u][v],则有负权回路，返回false；

4、返回true，源点到v的最短距离保存在d[v]中。

 那就上一个代码模版吧~

void Bellman()
{
    for(int j=1;j<=n-1;j++)//每一次循环遍历所有的节点，遍历n-1次
       {
        k=0 ; //判断每一次遍历中是否有过松弛，若没有，后面也不会再有就可弹出循环
        for(int i=1;i<=2*m;i++)
        {
            if(dis[e[i].v ]>dis[e[i].u ]+e[i].w )
            {
                dis[e[i].v ]=dis[e[i].u ]+e[i].w ;
                k=1; //有松弛就记为1
            }
        }
        if(k==0)//判断
        {
            break; 
        }
    }
    printf("%d",dis[n]);//输出到最后一个点的最短路
}

中间关于“k”的部分，只是一种优化，可以删去，不影响算法。

Secondly，SPFA算法

　　准确地说，SPFA就是用队列对上面那个算法进行了一个优化，其实很简单。

　　适用范围：给定的图存在负权边，这时类似Dijkstra等算法便没有了用武之地，而Bellman-Ford算法的复杂度又过高，SPFA算法便派上用场了。我们约定有向加权图G不存在负权回路，即最短路径一定存在。当然，我们可以在执行该算法前做一次拓扑排序，以判断是否存在负权回路，但这不是我们讨论的重点。

 　　算法思想：我们用数组d记录每个结点的最短路径估计值，用邻接表来存储图G。我们采取的方法是动态逼近法：设立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止。所以需要一个vis数组进行判断是否在队列中。

　　

void SPFA()
{
    queue<int>q;
    q.push(1);//入队
    vis[1]=1;
    while(!q.empty())//队列不为空
    {
        int u=q.front();
        vis[u]=0;//出队，记为0
        q.pop();
        for(int i=head[u];i!=0;i=e[i].next )
        {
            int v=e[i].v ;
            if(dis[v]>dis[u]+e[i].w )//松弛操作
            {
                dis[v]=dis[u]+e[i].w ;
                if(!vis[v])//判断它是否在队列中
                {
                    vis[v]=1;
                    q.push(v);
                }
            }
        }
    }
    printf("%d",dis[n]);//这里输出的是源点到最后一个点的最短路
}

 

 

Thirdly，Dijkstra算法

　　算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将其加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

实现步骤：

1、初始时，S只包含源点，即S＝v，距离为0。U包含除v外的其他顶点，U中顶点u距离为边上的权；

2、从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）；3、以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值为经过顶点k的值（松弛操作）；

4、重复步骤2和2直到所有顶点都包含在S中。

最重要的是Dijkstra可以用优先队列来进行优化

 

void Dijkstra()
{
    typedef pair<int,int>p;
    priority_queue<p,vector<p>,greater<p> >q;
    dis[1]=0;
    q.push(make_pair(dis[1],1));//将这个点到源点的距离与这个点进行配对
    while(!q.empty())
    {
        int u=q.top().second;//u=这个组合中的第二个元素——点
        q.pop();
        if(vis[u])
        {
            continue;
        }
        vis[u]=1;
        for(int i=head[u];i!=0;i=e[i].next )
        {
            int v=e[i].v ;
            if(dis[v]>dis[u]+e[i].w )//松弛操作
            {
                dis[v]=dis[u]+e[i].w ;
                q.push(make_pair(dis[v],v));//将这个点到源点的距离与这个点进行配对
            }
        }
    }
    printf("%d",dis[n]);
}

 

　　再次强调，Dijkstra不能处理负权边

 

Finally，Floyd

　　其实它就是一个Dp一样去不断改变中间点、起点和终点，不断地去枚举并改变它的两点（起点和终点）之间的最小值，其实~很简单。在此不做过多赘述（个人觉得除了能求出每两个点之间的最短路径也没有多大用处，不但不能处理负权边，而且时间复杂度还特高--O(n3)）。

　　上代码：

void Floyd
{
    for(int k=1;k<=n;++k)//必须先循环中间点
    {
        for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            for(int j=1;j<=n;++j)
            {
                if(i!=j&&dis[i][j]>dis[i][k]+dis[k][j])
                {
                    dis[i][j]=dis[i][k]+dis[k][j];
            }
            }
        }
    } 
    printf("%d
",dis[1][n]);//输出源点到最后一个点的距离
} 

以上就是我的一些总结，如有纰漏，请留言~~~~~~