博弈论问题

Posted 2020-12-01 hoyoak

对钟长者的课堂总结QwQ

 

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类型一：一人进行一件事回合制游戏（例如取k样东西，走k步）

解题方法：设dp[i][j][k]...(表示状态）表示在此状态是必胜态还是必败态

然后看这个状态可以转移到那几个状态，如果此状态转移到的所有状态均为必胜态

则此状态为必败态，若此状态的所有转移中有一个为必败态，则此状态为必胜态。

例一：有n件物品，Alice和Bob在进行游戏，Alice为先手，对于每回合，Alice和Bob

可以取走2-5件物品，Alice和Bob均使用最优策略，问Alice是必胜还是必败。

设dp[i]表示到第i件物品时是必胜态(true)还是必败态(false)。

由Alice为先手，每回合可以取走2-5件物品可知，dp[1]=false;

dp[2]=dp[3]=dp[4]=dp[5]=true;

然后遍可以从6-n进行O(4*n)的转移，检验dp[i-2],dp[i-3],dp[i-4],dp[i-5]的值，

如果四个值均为true，则说明无论这个时候怎么取，他的对手在下一轮一定是必胜态，

所以这个时候是必败态，如果四个值里面有大于等于1个false,则证明此时可以用最优策略

转移到对手的那轮是必败态，所以这个时候是必胜态。

例二：

类型2：Nim石子游戏

有n堆石子，每堆石子有a[i]个，

lice和Bob在进行游戏，Alice为先手，对于每回合，Alice和Bob可以从某一堆取走任意数量的石子，

谁先将石子取完谁获胜。

Sg定理：因为每堆石子是独立的，所以有一个叫Sg定理的东西。

定义：sg[i]=mex(sg[它能转移到的状态]),mex:最小的没有出现过的自然数。

最后可以得到sg[a[i]]每一堆的sg值，最后必胜必败态即为ans=sg[a[1]]^sg[a[2]]^....^sg[a[n]];

对于Nim石子游戏我们发现，对于第i堆石子的sg值一定为a[i]，因为可以取走任意数量的石子嘛，

最后将所有的a[i]异或起来，如果为0，则先手必败，否则先手必胜。

例1：有n+1堆石子，最左边一堆有2012个石子，两个人分别进行操作。一次操作可以选取两

堆不同的石堆，分别增加一个或减少一个石子（一加一减，或给已经不剩石子的堆加一个都是允许的）

为了保证游戏在有限步内结束，规定所选的两堆中右边的那一堆一定要包含奇数个石子，无路可走者输，

问先手是否必胜。

转化为Nim石子游戏问题，