每日一题 191103

Posted 2020-12-01 math521

已知函数(f(x)=(ax-x^2)mathrm{e}^x(ageqslant 0)).
((1)) 若函数(f(x))在区间([2,+infty))上单调递减,求实数(a)的取值范围;
((2)) 设(f(x))的两个极值点为(x_1,x_2(x_1>x_2)),若(ageqslant dfrac{2sqrt{11}}{5}),求证:(f(x_1)+f(x_2)>0).附注(:{ln}11approx 2.398).
解析:
((1)) 对(f(x))求导可得[ f'(x)=left[-x^2+left(a-2 ight)x+a ight]mathrm{e}^x.]由于(f(x))在区间([2,+infty))单调递减,因此(forall xgeqslant 2,f'(x)leqslant 0),参变全分离可得[ forall xgeqslant 2,aleqslant (x+1)-dfrac{1}{x+1}.]易求得上述不等式右侧表达式在(x=2)时,取得最小值(dfrac 83),因此(a)的取值范围是(left(-infty,dfrac 83 ight]).

((2)) 由题可知(x_1,x_2)是下述关于(x)的一元二次方程的两个解[ -x^2+(a-2)x+a=0,ageqslant dfrac{2sqrt{11}}{5}.]其中(x_1<x_2),由求根公式易得[ x_1=dfrac{-2+a-sqrt{4+a^2}}{2},x_2=dfrac{-2+a+sqrt{4+a^2}}{2}.]
%显然当(ageqslant dfrac{2sqrt{11}}{5})时, (x_2)是关于(a)的单调递增的函数,易求得(x_2)的取值范围为(left[ dfrac{sqrt{11}+1}{5},+infty ight)).且有
从而[ egin{cases} &ax_1-x_1^2=2x_1-a=-sqrt{a^2+4}-2, &ax_2-x_2^2=2x_2-a=sqrt{a^2+4}-2, end{cases} ]
于是[ egin{split} f(x_1)+f(x_2)&=left(-sqrt{a^2+4}-2 ight)mathrm{e}^{x_1}+left(sqrt{a^2+4}-2 ight)mathrm{e}^{x_2} &=dfrac{mathrm{e}^{x_1}}{sqrt{a^2+4}+2}cdotleft[dfrac{sqrt{a^2+4}-2}{sqrt{a^2+4}+2}cdot mathrm{e}^{sqrt{a^2+4}}-1 ight] &>0. end{split} ]
证毕.