每日一题_191105

Posted 2020-12-01 math521

已知函数(f(x)={ln}x+(mathrm{e}-a)x+b),其中(mathrm{e})为自然对数的底数,若不等式(f(x)leqslant 0)恒成立,则(dfrac ba)的最大值为(underline{qquadqquad}).
解析:
由题,显然(a>mathrm{e}),否则,总存在(x=mathrm{e}^{1-b}),使得[ f(x)=1-b+(mathrm{e}-a)x+b>0.]不符题设,因此必有(a>mathrm{e}).此时恒有[ forall x>0,f(x)leqslant fleft(dfrac{1}{a-mathrm{e}} ight)=-{ln}(a-mathrm{e})-1+bleqslant 0.]从而(bleqslant {ln}(a-mathrm{e})+1),于是[ dfrac{b}{a}leqslant dfrac{{ln}(a-mathrm{e})+1}{a}leqslant dfrac{dfrac{a-mathrm{e}}{mathrm{e}}+1}{a}=dfrac{1}{mathrm{e}}. ]
因此当且仅当((a,b)=(2mathrm{e},2))时,(dfrac ba)取得最大值(dfrac{1}{mathrm{e}}).