每日一题_191101

Posted 2020-12-01 math521

已知椭圆(E:dfrac{x^2}{a^2}+dfrac{y^2}{b^2}=1) ((a>b>0))的长轴长为(4),离心率为(dfrac{sqrt{2}}{2}).
((1)) 求椭圆(E)的标准方程;
((2)) 过(P(1,0))作直线(AB),与椭圆相交于(A,B)两点.是否存在定直线(l),对于任意给定的直线(AB),使得(l)上的任意一点(Q),与(A,P,B)三点连线的斜率始终成等差数列? 若存在,求出该直线方程;若不存在,请说明理由.
解析:
((1)) 由题易得椭圆方程为(dfrac{x^2}{4}+dfrac{y^2}{2}=1).
((2)) 假设存在满足题意的直线,则根据对称性,易知该定直线垂直于(x)轴,

设(QB)直线与椭圆交于另一点(D),连接(DP)并延长,与椭圆交于另一点(C),分别记直线(QB,QP,QA,QC)的斜率为[ k_1,k_0,k_2,k_3.]
对于(A,B,Q)构成的点组,满足[ k_1+k_2=2k_0.] 对于(C,D,Q)构成的点组,满足[ k_3+k_2=2k_0.]于是对比以上两式可知(k_1=k_3),因此(C,A,Q)三点共线.
从而结合极点极线的知识可判定(Q)点必然也恒位于(P)点关于椭圆(E)的极线,也即直线(x=4)上 .
存在直线(x=4)满足题意,以下给与证明.设(A(x_1,y_1)), (B(x_2,y_2)) ,(Q(4,t)),(tinmathbb{R}).
情形一 当直线(AB)斜率为(0),也即(AB)直线与(x)轴重合时,直线(QA,QB)的斜率之和为[ dfrac{t-0}{4-(-2)}+dfrac{t-0}{4-2}=dfrac{2}{3}t.]
此时(QP)的斜率为(dfrac{t-0}{4-1}=dfrac{t}{3}),满足题意.
情形二 当直线(AB)的斜率不为(0)时,设直线(AB)的方程为[ x=my+1,minmathbb{R}.]将该直线与椭圆的方程联立消去(x)并整理可得[(2+m^2)y^2+2my-3=0.]由韦达定理易得[ y_1+y_2=dfrac{-2m}{2+m^2},y_1y_2=dfrac{-3}{2+m^2}.]
从而直线(QA,QB)的斜率之和为[ egin{split} dfrac{t-y_1}{4-x_1}+dfrac{t-y_2}{4-x_2}&=dfrac{t-y_1}{3-my_1}+dfrac{t-y_2}{3-my_2} &=dfrac{6t-(3+mt)(y_1+y_2)+2my_1y_2}{9-3m(y_1+y_2)+m^2y_1y_2} &=dfrac{4tcdot(3+2m^2)}{6cdot(3+2m^2)} &=2cdot dfrac{t}{3}. end{split} ]
显然(QA,QB)的斜率和等于(QP)斜率的二倍,满足题设.
因此,存在直线(x=4)满足题意.