点积内积外积叉积张量积——概念区分

Posted 2023-03-16 qizhou

　　找张量积概念的时候，被各种野路子博客引入的各种“积”搞混了，下面仅以Wikipedia为标准记录各种积的概念。

点积（Dot product）

　　https://en.wikipedia.org/wiki/Dot_product

　　在数学中，点积（Dot product）或标量积（scalar product）是一种代数运算，它取两个相等长度的数字序列（通常是坐标向量），并返回一个数字。在欧几里得几何中，两个向量的笛卡尔坐标的点积被广泛使用。它通常被称为欧几里得空间的内积（Inner product），或很少地被称为投影积（Projection product），尽管它不是唯一可以在欧几里得空间上定义的内积。

　　也就是说，点积是我们通常讨论的欧氏空间中内积的一种特殊形式。点积定义如下：

内积（Inner product）

　　https://en.wikipedia.org/wiki/Inner_product_space

　　在数学中，内积空间（少部分人称为豪斯多夫-前希尔伯特空间）是实向量空间或具有称为内积的运算的复向量空间。空间中两个向量的内积是标量，通常用尖括号表示，如$<a,b>$。内积允许对直观的几何概念进行形式化定义，例如向量的长度、角度和正交性（零内积）。内积空间推广了欧几里得向量空间，其中内积是笛卡尔坐标的点积或标量积。无穷维内积空间在泛函分析中得到了广泛的应用。复数域上的内积空间有时被称为酉空间。1898年，Giuseppe Peano首次使用了具有内积的向量空间概念。

　　内积的定义比较抽象，在此仅对各种积进行区分，不对定义进行记录。它甚至没有单独的词条，是和内积空间放在一起介绍的。在工科的讨论范围内，内积和点积会混在一起说。这是无可厚非的，毕竟点积是内积的一种特殊形式。

外积（Outer product）

　　https://en.wikipedia.org/wiki/Outer_product

　　在线性代数中，两个坐标向量的外积（Outer product）是一个矩阵。如果这两个向量的维数分别为n和m，那么它们的外积是一个n×m矩阵。更一般地说，给定两个张量（多维数组），它们的外积是张量。张量的外积也被称为它们的张量积，可以用来定义张量代数。向量外积定义如下：

叉积（Cross product，叉乘）

　　https://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product

　　在数学中，叉积（Cross product）或向量积（Vector product）是在三维欧几里得向量空间中对两个向量的二元运算，用符号表示$\\times$。给定两个线性无关的向量$a$和$b$，叉积$a×b$是一个垂直于$a$和$b$的向量，因此垂直于包含它们的平面。它在数学、物理、工程和计算机编程中有许多应用。不应将其与点积（投影积），特别是外积混淆。

　　国内总会把叉积和外积混为一谈，即使是中文维基百科也是如此。英文环境里根本就没有把cross product和outer product混在一起说的情况。叉积仅仅定义在三维的欧氏空间中，且需要用到右手定则。

张量积（Tensor product）

　　https://en.wikipedia.org/wiki/Tensor_product

　　https://www.math3ma.com/blog/the-tensor-product-demystified

　　就是外积在张量上的拓展。