Copula

Posted 车天健

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了Copula相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

笔记回顾与整理 (Copula)

Copula

金融数据常体现相关性，传统多元分析的统计方法通常假设联合正态分布，然而这种做法的局限性很强，因为金融数据通常并不体现“正态”。

Copula: 提供灵活与通用的生成给定单变量边际分布的多元分布。由于边际分布已确定，联合分布则能通过这已确定的边际分布变换到单位立方体 cube: \\([0, 1]\\) 上。

一个 \\(n\\) 元的 copula 是在单位立方体 cube \\([0, 1]\\) 上的多元分布，并且其边际的分布为 \\(\\mboxUniform(0, ~ 1)\\)。



先从二元的 copula 入手

Definition 1.

设有一个定义在 \\([0, 1] \\times [0, 1]\\) 上的二元函数 \\(G\\)，如果：

\\[\\forall u, v \\in [0, 1]: ~ G(u, 0) = G(0, v) = 0 \\]

则称 bivariate function \\(G\\) is grounded。



定义 1. 的意思即是说一个 grounded bivariate function，必定满足定义域为 \\([0, 1] \\times [0, 1]\\)，并且函数在定义域正方形靠在 \\(x, y\\) 两轴上的边上取值为 \\(0\\)。



Definition 2.

如果：

\\[\\forall u_1 \\leq u_2, ~ v_1 \\leq v_2: ~ G(u_2, v_2) - G(u_2, v_1) - G(u_1, v_2) + G(u_1, v_1) \\geq 0 \\]


那么称：bivariate function \\(G\\) is 2-increasing。并且，如果 \\(G\\) 同时二阶可微，那么：

\\[\\mbox2-increaing \\quad \\iff \\quad \\frac\\partial^2G(u, v)\\partial u \\partial v \\geq 0 \\]



这里前半句的意思实际是，在 \\([0, 1] \\times [0, 1]\\) 的正方形区域内，任意再取一个小正方形，使得四个点坐标分别为：左下： \\((u_1, v_1)\\)， 右下：\\((u_2, v_1)\\)， 左上：\\((u_1, v_2)\\) 以及右上： \\((u_2, v_2)\\)。那么此处条件实际为：

\\[\\mbox左下 + 右上 $\\geq$ 左上 + 右下 \\]



Definition 3.

一个二元 copula \\(C\\) 是一个定义在 \\([0, 1] \\times [0, 1]\\) 上的函数，同时满足：

​ (a) \\(C\\) is grounded.

​ (b) \\(C\\) is \\(\\mbox2-increasing\\).

​ (c) 对于 \\(\\forall u, v \\in [0, 1]: ~ C(u, 1) = u, ~ C(1, v) = v\\)



Corollary 1.

一个二元函数 当且仅当 它定义在 \\([0, 1] \\times [0, 1]\\) 上且边际分布服从均匀分布时（很显然只能是\\(\\mboxUnif[0, 1]\\) 的均匀分布）为一个 copula。



Proof.

\\(\\Longleftarrow\\)

假设有一个二元函数 \\(f_X, Y(x, y)\\) 其中 \\(x, y \\in [0, 1]\\)，并且对于 marginal distribution 有：

\\[\\int^1_0 f_X, Y(x, y) ~ dy= f_X(x) = a \\in \\mathbbR\\\\ \\int^1_0 f_X, Y(x, y) ~ dx= f_Y(y) = b \\in \\mathbbR\\\\ \\]


  • 首先，copula 的定义域条件 （i.e. \\([0, 1] \\times [0, 1]\\)）已经给出。并且显然 \\(a = b = 1\\)，因为：

    \\[\\int^1_0\\int^1_0 f_X, Y(x, y) ~ dy~dx = 1 = \\int^1_0 a ~ dx = a\\\\ \\int^1_0\\int^1_0 f_X, Y(x, y) ~ dx~dy = 1 = \\int^1_0 a ~ dy = b\\\\ \\]


  • 其次，当 \\(x=0\\) 时，

    \\[\\beginalign* \\int^1_0 f_X, Y(0, y) ~ dy = f_X(0) = a \\quad & \\implies \\quad \\frac\\partial \\int^1_0 f_X, Y(0, y) ~ dy\\partial y = \\frac\\partial f_X(x)\\partial y = 0\\\\ & \\implies \\quad f_X, Y(0, y) = 0 \\endalign* \\]


    同理，当 \\(y = 0\\) 时，

    \\[\\beginalign* \\int^1_0 f_X, Y(x, 0) ~ dx = f_Y(0) = b \\quad & \\implies \\quad \\frac\\partial \\int^1_0 f_X, Y(x, 0) ~ dx\\partial x = \\frac\\partial f_Y(y)\\partial x = 0\\\\ & \\implies \\quad f_X, Y(x, 0) = 0 \\endalign* \\]


    因此函数 \\(f_X,Y(x,y)\\) is grounded.


  • 令：

    \\[F_X, Y(x, y) = \\int^y_0 \\int^x_0 f_X, Y(s, t) ~ ds ~ dt \\]


    那么对于：

    \\[\\beginalign* \\forall y \\in [0, 1]: ~ F_X, Y(1, y) & = \\int^y_0 \\int^1_0 f_X, Y(s, t) ~ ds ~ dt \\\\ & = \\int^y_0 f_Y(t) ~ dt \\\\ & = \\int^y_0 1 ~ dt \\\\ & = y \\endalign* \\]


同理：

\\[\\beginalign* \\forall x \\in [0, 1]: ~ F_X, Y(x, 1) & = \\int^1_0 \\int^x_0 f_X, Y(s, t) ~ ds ~ dt \\\\ & = \\int^x_0 \\int^1_0 f_X, Y(s, t) ~ dt ~ ds \\\\ & = \\int^x_0 f_X(s) ~ ds \\\\ & = \\int^x_0 1 ~ dt \\\\ & = x \\endalign* \\]


  • 对于 \\(\\forall x_1 \\leq x_2, ~ y_1 \\leq y_2, ~ x_1, x_2, y_1, y_2 \\in [0, 1]\\)：

\\[\\beginalign* & F_X, Y(x_2, y_2) + F_X, Y(x_1, y_1) - F_X, Y(x_2, y_1) - F_X, Y(x_1, y_2) \\\\ = & \\int^y_2_0 \\int^x_2_0 f_X, Y(s, t) ~ ds ~ dt + \\int^y_1_0 \\int^x_1_0 f_X, Y(s, t) ~ ds ~ dt ~ - \\\\& \\int^y_2_0 \\int^x_1_0 f_X, Y(s, t) ~ ds ~ dt - \\int^y_1_0 \\int^x_2_0 f_X, Y(s, t) ~ ds ~ dt\\\\ = & \\int^y_2_0 \\left( \\int^x_2_0 f_X, Y(s, t) ~ ds - \\int^x_1_0 f_X, Y(s, t) ~ ds \\right) ~ dt ~ + ~ \\\\ & \\int^y_1_0 \\left( \\int^x_1_0 f_X, Y(s, t) ~ ds - \\int^x_2_0 f_X, Y(s, t) ~ ds \\right) ~ dt \\\\ = & \\int^y_2_0 \\int^x_2_x_1 f_X, Y(s, t) ~ ds ~ dt ~ - \\int^y_1_0 \\int^x_2_x_1 f_X, Y(s, t) ~ ds ~ dt \\\\ = & \\int^y_2_y_1 \\int^x_2_x_1 f_X, Y(s, t) ~ ds ~ dt \\endalign* \\]


因此，由于 \\(x_2 \\geq x_1, ~ y_2 \\geq y_1\\)，并且对于 \\(\\forall x, y \\in [0, 1]: ~ f_X, Y(x, y) \\geq 0\\)，所以根据 Riemann Integration 的基本性质，可得：

\\[ \\int^y_2_y_1 \\int^x_2_x_1 f_X, Y(s, t) ~ ds ~ dt \\geq 0 \\]


这意味着：

\\[\\forall x_1 \\leq x_2, ~ y_1 \\leq y_2, ~ x_1, x_2, y_1, y_2 \\in [0, 1]: ~ F_X, Y(x_2, y_2) + F_X, Y(x_1, y_1) - F_X, Y(x_2, y_1) - F_X, Y(x_1, y_2) \\geq 0 \\]


因此函数 \\(F_X,Y(x, y)\\) is 2-increasing。


综上所述，由 copula 的定义，即证毕函数 \\(F_X,Y(x,y)\\) 为一个 copula。


\\(\\Longrightarrow\\)

假设函数 \\(C(u, v)\\) 是一个 copula，那么它定义在 \\([0, 1] \\times [0, 1]\\) 之上，即 \\(u, v \\in [0, 1]\\)。

Copula 满足 2-increasing, 那么对于 \\(\\forall u_1 \\leq u_2, ~ v_1 \\leq v_2\\)：

\\[C(u_2, v_2) - C(u_2, v_1) - C(u_1, v_2) + C(u_1, v_1) \\geq 0 \\]


同时 \\(C(u, v)\\) 还应当满足：

\\[\\forall u, v \\in [0, 1]: ~ C(u, 1) = C(1, v) = 1, ~ C(u, 0) = C(0, v) = 0 \\]


那么自然能够求得 二维 copula \\(C\\) 的两个边缘分布：

\\[C_U = \\int^1_0 C(u, 1) ~ du = \\int^1_0 1 ~ du = 1\\\\ C_V = \\int^1_0 C(1, v) ~ dv = \\int^1_0 1 ~ dv = 1 \\]

故 Corollary 1. 证毕。



Corollary 2.

以下三个函数都为 copulas：

（a） \\(C^-(u, v) = \\max(u + v - 1, ~ 0)\\)

（b） $ C^+(u, v) = \\min(u, ~ v)$

（c） \\(C^\\perp(u, v) = u \\cdot v\\)



Definition 4.

对于两个 copulas: \\(C_1\\) 和 \\(C_2\\)，如果对于 \\(\\forall u, v \\in [0, 1]\\)，都满足 \\(C_1(u, v) \\leq C_2(u, v)\\)，则称 \\(C_1\\) 小于 \\(C_2\\)，记作 \\(C_1 \\prec C_2\\)。



Corollary 3.

对于任意一个 copula \\(C\\), 都有：\\(C^- \\prec C \\prec C^+\\)。


----

Proof.

Copula \\(C\\) 是一个如下所示的二元函数：

\\[C: [0, 1] \\times [0, 1] \\longrightarrow \\mathbbR, \\qquad (u, v) \\longrightarrow C(u, v) \\]


根据定义，有：

\\[\\forall u \\in [0, 1]: ~ C(u, 1) = u\\\\ \\forall v \\in [0, 1]: ~ C(1, v) = v \\]


现在，我们在函数的正方形定义域 \\([0, 1] \\times [0, 1]\\) 内构造另外一个正方形，其中它的四个顶点的坐标分别为：

\\[(u, 0), ~ (1, 0), ~ (1, v), ~ (u, v) \\]


根据 2-increasing 的性质，我们有：

\\[C(1, v) + C(u, 0) \\geq C(1, 0) + C(u, v) \\]


一个 copula 根据定义必须 grounded，这意味着：

\\[C(u, 0) = C(1, 0) = 0 \\]


因此：

\\[C(1, v) \\geq C(u, v) \\]


相似地，我们可以建立另外一个正方形，通过相同操作得到：

\\[C(u, 1) \\geq C(u, v) \\]


因此我们已经证明：

\\[\\min(u, v) \\geq C(u, v) \\]


欲想证明 \\(C(u, ~ v) \\geq C^-(u, v)\\)，首先注意到：

\\[\\beginalign* C(u, v) & = P(U \\leq u, ~ V \\leq v) = P(U \\leq u) + P(V \\leq v) - P(\\left\\ U \\leq u \\right\\ \\cup \\left\\ V \\leq v \\right\\)\\\\ & \\geq u + v - 1 \\endalign* \\]


根据定义，我们有：

\\[C(u, v) \\geq 0 \\]


因此：

\\[C(u, v) \\geq \\max(u + v - 1, ~ 0) = C^-(u, ~v) \\]


我们最终可得：

\\[C^-(u, v) \\leq C(u, v) \\leq C^+(u, v) \\]



Sklar Theorem (Sklar, 1959)

令 \\(F_1\\) 和 \\(F_2\\) 为两个单变量分布函数，那么以下结论成立：

  1. 如果 \\(C\\) 是一个 copula，那么 \\(C(F_1(x), ~ F_2(y))\\) 是一个 bivariate distribution function。
  2. 若 \\(F(x, y)\\) 是一个 bivariate distribution function，且拥有边界分布 \\(F_1\\) 和 \\(F_2\\)，那么恰好存在一个 copula \\(C\\) 使得 \\(F(x, y) = C(F_1(x), ~ F_2(y))\\)。

注： 在 2. 中，copula 可以被表示为 \\(C(u, v) = F\\left( F^-1_1(x), ~ F^-1_2(y) \\right)\\)



Gaussian Copulas

对于一个二元高斯（正态）分布，其边际密度函数（marginal P.D.F.）分别为 \\(N(\\mu_1, \\sigma_1^2)\\) 和 \\(N(\\mu_2, \\sigma_2^2)\\)，且两个随机变量的相关系数为 \\(\\rho\\)，我们则可以通过 Sklar Theorem 中的 1. 来求得 copula C。因为在对两个正态随机变量进行标准化（即 \\(\\fracX - \\mu_1\\sigma_1\\) 和 \\(\\fracY - \\mu_2\\sigma_2\\)）后，copula C 不再取决于边际函数（即两个正态随机变量）的变量与方差，而是仅仅取决于相关系数 \\(\\rho\\)，即：

令 \\(\\phi\\) 记为标准正态分布，令 \\(\\phi_\\rho\\) 记作两个边际函数皆为标准正态分布的二元高斯分布， 且两边际随机变量的相关系数为 \\(\\rho\\)，我们则有：

\\[C^G_\\rho(u, v) = \\phi_\\rho\\left( \\phi^-1(u), ~ \\phi^-1(v) \\right) \\]

同时，我们称 \\(\\left\\ C^G_\\rho : \\rho \\in [−1, 1] \\right\\\\) 为 “the family of Gaussian Copulas“。



Archimedean Copulas

生成器（Generator） \\(g\\) 是一个在 \\([0, 1]\\) 上严格递减的函数，且 \\(g(1) = 0\\)。一个 generator \\(g\\) 所对应的 Archimedean Copula 记作：

\\[C^A_g(u, v) = g^-1\\left( g(u) + g(v) \\right) \\]

其中，当 \\(g(0) < \\infty\\) 时，定义：\\(g^-1(x) = 0\\) for \\(\\forall x \\geq g(0)\\)。



Gumbel

令：

\\[g_\\alpha(u) = (−\\logu)^\\alpha, \\qquad \\alpha \\in [1, \\infty] \\]

此时：

\\[C_\\alpha(u, v) = e^-\\left[ (-\\logu)^\\alpha + (-\\logv)^\\alpha\\right]^\\frac1\\alpha \\]



Clayton

令：

\\[g_\\alpha(u) = \\begincases \\alpha^−1 \\left( u^-\\alpha − 1 \\right) \\qquad \\quad \\alpha \\in \\left[−1, 0 \\right) \\cup \\left(0, \\infty \\right)\\\\ -\\logu \\qquad \\qquad \\qquad \\alpha = 0 \\endcases \\]

那么其对应的 Copula 为：

\\[C_\\alpha(u, v) = \\frac1\\left[ \\max(u^-\\alpha + v^-\\alpha - 1, ~ 0) \\right]^\\frac1\\alpha \\qquad \\qquad \\alpha \\in \\left[−1, 0 \\right) \\cup \\left(0, \\infty \\right) \\]



Frank

令：

\\[g_\\alpha(u) = \\begincases -\\log\\left[ \\frace^-\\alpha u-1e^-\\alpha-1 \\right] \\qquad \\quad \\alpha \\in \\mathbbR \\setminus \\left\\ 0 \\right\\ \\\\ -\\logu \\qquad \\qquad \\qquad \\alpha = 0 \\endcases \\]

那么其对应的 Copula 为：

\\[C_\\alpha(u, v) = -\\frac1\\alpha \\cdot \\log\\left[ 1 + \\frac(e^-\\alpha u-1)(e^-\\alpha v-1)e^-\\alpha-1 \\right] \\qquad \\qquad \\alpha \\in \\mathbbR\\setminus \\left\\ 0 \\right\\ \\]

以上是关于Copula的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

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