排列组合详解

Posted 2023-02-04 白简的博客~

一、引入

排列组合是组合数学的基础，主要是研究各种排列和组合的情况数。

1. 加法原理

在同一步中，有不同类别的选择，可以将各类选择方案数累加获得总方案数。

举例说明，比如从 \\(A\\) 城到达 \\(B\\) 城，坐火车有 \\(3\\) 种方案，坐飞机有 \\(2\\) 种方案。则总共有 \\(2 + 3 = 5\\) 种方案。

2. 乘法原理

在不同步骤中，有不同种方案，可以将各步方案数累乘获得总方案数。

举例说明，比如从 \\(A\\) 城到达 \\(B\\) 城，中间需要从 \\(C\\) 城转乘。到达 \\(C\\) 城有 \\(3\\) 种方案，到达 \\(B\\) 城有 \\(2\\) 种方案。则总共有 \\(2 \\times 3 = 6\\) 种方案。

二、公式

排列数：从 \\(n\\) 个不同元素中任意选出 \\(m(m \\leq n)\\) 个，按照一定顺序排成一列，叫做从 \\(n\\) 个不同元素中取出 \\(m\\) 个元素的排列数。

\\[A^m_n = n(n-1)(n-2) \\cdots (n-m+1)=\\fracn!(n-m)! \\]

组合数：从 \\(n\\) 个不同元素中任意选出 \\(m(m \\leq n)\\) 个的所有组合的个数，叫做从 \\(n\\) 个不同元素中取出 \\(m\\) 个元素的组合数。

\\[C^m_n = \\fracA^n_mA^m_m = \\fracn!m!(n-m)! \\]

三、经典题型

1. 特殊元素和位置优先

例 \\(1\\)：

由 \\(0,1,2,3,4,5\\) 可以组成多少个没有重复数字的五位奇数？

解答

对于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素把这两个位置占掉。

先排末位共有 \\(C^1_3\\)，然后排首位共有 \\(C_4^1\\)，最后排其它位置共有 \\(A_4^3\\)

由计数原理可以算出 \\(ans=C^1_3 C_4^1 A_4^3\\)

练习 \\(1\\)：

用 \\(0\\) 到 \\(9\\) 这 \\(10\\) 个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？

解析

2. 相邻元素捆绑

有些元素不能分开，于是可以将这几个元素看作一个整体元素来进行排列组合。

例 \\(2\\)：

\\(7\\) 人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法？

解答：
甲乙相邻，丙丁相邻，看作两个整体元素。

甲乙内部 \\(A^2_2\\) 种方案，丙丁内部 \\(A^2_2\\) 种方案，这两个整体元素和其他剩余 \\(5\\) 个元素进行排列，有 \\(A^5_5\\) 种方案。

则答案为 \\(ans = A^2_2A^2_2A^5_5\\)

练习 \\(2\\)：

记者要为 \\(5\\) 名志愿者和他们帮助的 \\(2\\) 位老人拍照，要求排成一排，\\(2\\) 位老人相邻但不排在两端，求不同排法的数量？

解析

3. 不相邻元素插空

有些元素要求不能放在一起，我们可以将其他元素先排列好，再将这些不能放在一起的元素插在已经排好元素的空位中。

例 \\(3\\)：

一个晚会的节目有 \\(4\\) 个舞蹈，\\(2\\) 个相声，\\(3\\) 个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有多少种？

解答：
第一步，先把 \\(2\\) 个相声和 \\(3\\) 个独唱排列好，共 \\(A^5_5\\) 种方案；

第二步，将这四个舞蹈插入 \\(6\\) 个空之中，共 \\(A^4_6\\) 种方案。

则答案为 \\(ans = A^5_5A^4_6\\)

练习 \\(3\\)：

道路边上有编号 \\(1\\) 到 \\(10\\) 的 \\(10\\) 盏路灯，现要关掉其中的 \\(3\\) 盏，但不能关掉相邻的 \\(2\\) 盏或 \\(3\\) 盏，也不能关掉两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种？

解析

4. 定序问题倍缩空位插入

倍缩法：对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数。

例 \\(4\\)：

\\(7\\) 人排队，其中甲乙丙 \\(3\\) 人顺序一定，共有多少不同的排法？

解答：

先把这几个需要固定顺序的元素和其他元素一同进行排列，即 \\(A^7_7\\) 种；

然后再除以这几个元素的全排列数，即 \\(A^3_3\\) 种；

答案即为

\\[ans = \\fracA^7_7A^3_3 \\]

练习 \\(4\\)：

信号兵把红旗和白旗从上到下挂在旗杆上表示信号。现有 \\(3\\) 面红旗，\\(2\\) 面白旗，把这 \\(5\\) 面旗都挂上去，总共能表示多少种信号？

解析

练习题

P3223 [HNOI2012]排队

主要是插空法 + 高精度