题目：
已知函数 \\(f(x)=\\frace2x+\\lnx\\) 上存在不同的三点 \\((x1,f(x1)),(x2,f(x2)),(x3,f(x3)),\\) 且曲线 \\(y=f(x)\\) 经过这三点的切线都经过点 \\((a,b).\\)
（Ⅰ） 求 \\(f(x)\\) 的单调区间
（Ⅱ）（i） 若 \\(a>e,\\) 证明： \\(0<b−f(a)<\\frac12(\\fracae−1)\\)
（ii） 若 \\(0<a<e,\\) 且满足 \\(x_1<x_2<x_3,\\) 证明 ：
\\(\\frac2e+\\frace−a6e^2<\\frac1x_1+\\frac1x_3<\\frac2a−\\frace−a6e^2\\)
解：
（Ⅰ）：
由题意得，对 \\(f(x)\\) 求导得到：
\\[f^\\prime(x)=\\frac2x-e2x^2
\\]
所以 \\(f(x)\\) 在 \\((0,\\frace2)\\) 内单调递减，在 \\((\\frace2,+\\infty)\\) 内单调递增。
（Ⅱ）：
（i）：
由题意得：
过 \\((x_i,f(x_i)),i=1,2,3\\) 的切线
\\[f(x)=f^\\prime(x)(x-a)+b
\\]
即
\\[\\frace2x+\\lnx=\\frac2x-e2x^2(x-a)+b
\\]
令
\\[g(x)=\\frac2x-e2x^2(x-a)-\\frace2x-\\lnx+b
\\]
由题意得，当 \\(g(x)=0\\) 时存在三个不同的根。
对 \\(g(x)\\) 求导得到：
\\[g^\\prime(x)=-\\fracx^2-(a+e)x+aex^3=-\\frac(x-a)(x-e)x^3
\\]
所以 \\(g(x)\\) 在 \\((0,e)\\) 内单调递减，在 \\((e,a)\\) 内单调递增，在 \\((a,+\\infty)\\) 内单调递减。
不难发现
\\[\\lim\\limits_x\\rightarrow0g(x)=+\\infty,\\lim\\limits_x\\rightarrow \\inftyg(x)=-\\infty
\\]
所以
\\[g(e)=-\\fraca2e-1+b<0,g(a)=-\\frace2a-\\lna+b>0
\\]
由（Ⅰ）得 \\(f(x)\\) 在 \\((\\frace2,+\\infty)\\) 内单调递增，故 \\(f(a)>f(e)\\) 。
所以
\\[0=\\frace2a+\\lna-f(a)<b-f(a)<\\fraca2e+1-f(e)=\\frac12(\\fracae−1)
\\]
（ii）：
由题意得 \\(:0<a<e,\\) 与（i）同理，可知 \\(0<x_1<a<x_2<e<x_3\\) 。
令 \\(t_i=\\frac1x_i,i=1,2,3,\\) 那么要证
\\[\\frac2e+\\frace−a6e^2<\\frac1x_1+\\frac1x_3<\\frac2a−\\frace−a6e^2
\\]
即证
\\[\\frac2e+\\frace−a6e^2<t_1+t_3<\\frac2a−\\frace−a6e^2
\\]
即证
\\[[(t_1+t_3)-(\\frac2e+\\frace−a6e^2)]\\times[(t_1+t_3)-(\\frac2a−\\frace−a6e^2)]<0
\\]
即证
\\[(t_1+t_3)^2-(\\frac2e+\\frac2a)(t_1+t_3)+(\\frac2e+\\frace−a6e^2)\\times(\\frac2a−\\frace−a6e^2)<0
\\]
由题意得 \\(,x_1,x_3\\) 为方程 \\(g(x)=\\frac2x-e2x^2(x-a)-\\frace2x-\\lnx+b=0\\) 的两根，所以
\\[\\frac2x_1-e2x_1^2(x_1-a)-\\frace2x_1-\\lnx_1+b=0\\\\
\\frac2x_3-e2x_3^2(x_3-a)-\\frace2x_3-\\lnx_3+b=0
\\]
两式相减，整理得到：
\\[\\fracae2(\\frac1x_1^2-\\frac1x_3^2)-(a+e)(\\frac1x_1-\\frac1x_3)-(\\lnx_1-\\lnx_3)=0
\\]
即
\\[\\fracae2(t_1^2-t_3^2)-(a+e)(t_1-t_3)+(\\lnt_1-\\lnt_3)=0
\\]
两边同乘 \\(\\frac2(t_1+t_3)ae(t_1-t_3)\\) 得到
\\[(t_1+t_3)^2-(\\frac2e+\\frac2a)(t_1+t_3)+\\frac2ae\\times\\frac(\\lnt_1-\\lnt_3)(t_1+t_3)(t_1-t_3)=0
\\]
所以要证
\\[(t_1+t_3)^2-(\\frac2e+\\frac2a)(t_1+t_3)+(\\frac2e+\\frace−a6e^2)\\times(\\frac2a−\\frace−a6e^2)<0
\\]
即证
\\[(\\frac2e+\\frace−a6e^2)\\times(\\frac2a−\\frace−a6e^2)<\\frac2ae\\times\\frac(\\lnt_1-\\lnt_3)(t_1+t_3)(t_1-t_3)
\\]
即证
\\[(\\frac2e+\\frace−a6e^2)\\times(\\frac2a−\\frace−a6e^2)<\\frac2ae\\times\\frac\\ln\\fract_1t_3(\\fract_1t_3+1)(\\fract_1t_3-1)
\\]
令
\\[h(x)=\\frac\\lnx(x+1)(x-1),x>1
\\]
对 \\(h(x)\\) 求导得到：
\\[h^\\prime(x)=\\frac-2\\lnx+\\fracx^2-1x(x-1)^2
\\]
令
\\[F(x)=\\fracx^2-1x-2\\lnx,x>1
\\]
对 \\(F(x)\\) 求导得到：
\\[F^\\prime(x)=\\frac(x-1)^2x^2>0
\\]
所以 \\(F(x)\\) 在 \\((1,+\\infty)\\) 内单调递增。
所以 \\(F(x)>F(1)=0,h(x)\\) 在 \\((1,+\\infty)\\) 内单调递增。
因为 \\(\\fract_1t_3=\\fracx_3x_1>\\fracea>1,\\) 所以 \\(h(\\fract_1t_3)>h(\\fracea)\\) 。
所以即证
\\[(\\frac2e+\\frace−a6e^2)\\times(\\frac2a−\\frace−a6e^2)<\\frac2ae\\times\\frac\\ln\\fracea(\\fracea+1)(\\fracea-1)
\\]
令 \\(k=\\fracea,k\\in(0,1),\\) 即证
\\[\\frack2(2+\\frac1-k6)(\\frac2k-\\frac1-k6)<\\frac\\lnk(k+1)k-1
\\]
即证
\\[\\lnk<\\frac(k-1)(13-k)(k^2-k+12)72(k+1)
\\]
令
\\[G(x)=\\lnx-\\frac(x-1)(13-x)(x^2-x+12)72(x+1),0<x<1
\\]
对 \\(G(x)\\) 求导得到：
\\[G^\\prime(x)=\\frac3x^5-26x^4-6x^3+150x^2-193x+7272x(x+1)^2=\\frac(x-1)^2(3x^3-20x^2-49x+72)72x(x+1)^2
\\]
令
\\[H(x)=3x^3-20x^2-49x+72,0<x<1
\\]
对 \\(H(x)\\) 求导得到：
\\[H^\\prime(x)=9x^2-40x-49=(x+1)(9x-49)<0
\\]
所以 \\(H(x)\\) 在 \\((0,1)\\) 内单调递减。
所以 \\(H(x)>H(1)=6>0,G(x)\\) 在 \\((0,1)\\) 内单调递增。
所以 \\(G(x)<G(1)=0,\\) 即
\\[\\lnx<\\frac(x-1)(13-x)(x^2-x+12)72(x+1)
\\]
证毕！