Acw 170.加成序列

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了Acw 170.加成序列相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

题目描述

满足如下条件的序列 \\(X\\)(序列中元素被标号为 \\(1、2、3…m\\))被称为“加成序列”:

  1. \\(X[1]=1\\)
  2. \\(X[m]=n\\)
  3. \\(X[1]<X[2]<…<X[m-1]<X[m]\\)
  4. 对于每个 \\(k\\)\\(2 \\le k \\le m\\))都存在两个整数 \\(i\\)\\(j\\)\\(1 \\le i,j\\le k-1\\)\\(i\\)\\(j\\) 可相等),使得 \\(X[k]=X[i]+X[j]\\)

你的任务是:给定一个整数 \\(n\\),找出符合上述条件的长度 \\(m\\) 最小的“加成序列”。

如果有多个满足要求的答案,只需要找出任意一个可行解。

解题思路

\\(\\qquad\\) 看到 \\(n\\le 100\\),考虑爆搜,但是这个一般的爆搜过不去,原因如下:递归的层数可能很深(因为序列的长度可以很长),但是答案序列的长度会很短,举个例子,在这个序列中:

\\[\\large 1\\ \\ 2\\ \\ 3\\ \\ 5\\ \\ 8\\ \\ 13\\ \\ 21\\ \\ 34\\ \\ 55\\ \\ 89\\ \\ 144 \\]

\\(\\qquad\\)长度只有 \\(11\\),但是很容易构造出一个递增的序列,可以达到 \\(144\\) 项。为了避免这样的不必要搜索,我们可以采用迭代加深搜索

\\[\\]

\\(\\qquad\\qquad\\qquad\\)迭代加深搜索适合搜索规模不定,但是答案在较浅的层数的问题

\\[\\]

\\(\\qquad\\)具体就是我们先假定一个最大层数,在搜索的时候超过最大层数就不继续,知道搜索成功后,这个最大层数就是我们的答案。

剪枝操作

\\(\\qquad1.\\)优化搜索顺序:因为这是严格递增顺序,所以为了让答案尽快趋近于 \\(n\\),我们应该从后面的项开始,并且 \\(a[i]\\) 必定可以由 \\(a[i - 1]\\) 得到,这里可以采用反证法:因为如果 \\(a[i]\\) 的组成中不包含 \\(a[i - 1]\\),那我们把 \\(a[i - 1]\\) 这一项删去不改变序列的性质,而且答案更优。所以 \\(a[i]\\) 必定可以由 \\(a[i - 1]\\) 得到,只要枚举另一个数就可以了。

\\(\\qquad2.\\)排除等效冗余:由于两个数的和可能出现重复,所以我们要排除这种情况,搞个判重数组

\\(\\qquad3.\\)估价函数:由于后一项至多是前一项的两倍,所以当当前数 \\(a[i]\\times 2^m - i + 1 < n\\) 的时候,代表无论如何也无法达到目标,所以也是不行的。

代码实现

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 110;
int n, path[N];

bool dfs(int u, int dep) 

	if (u == dep + 1) return path[dep] == n;
	if (path[u - 1] * (1 << dep - u + 1) < n) return 0;

	int st[N] = 0;
	for (int j = u - 1; j >= 1; j -- ) 
	
		int sum = path[u - 1] + path[j];
		if (sum <= path[u - 1]) continue ;
		if (st[sum] || sum > n) continue ;

		path[u] = sum, st[sum] = 1;
		if (dfs(u + 1, dep)) return 1;
	 

	return 0;


int main() 

	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0), cout.tie(0);

	path[1] = 1;
	while (cin >> n, n) 
	
		int dep = 2;
		while (!dfs(2, dep)) dep ++ ;

		for (int i = 1; i <= dep; i ++ )
			cout << path[i] << \' \';
		cout << \'\\n\';
	

	return 0;

这些全部搞起来我们的代码就可以稳定 \\(20ms\\) 以内了 qwq

以上是关于Acw 170.加成序列的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

加成序列(迭代加深dfs)

[dfs] aw180. 排书(IDA*+dfs深入理解+思维+好题)

[ACW]826.单链表

[ACW]791~794高精度

php反序列化值

[ACW]893集合-Nim游戏