[概率论与数理统计]笔记：4.3 常用的统计分布

Posted 2023-01-28 feixianxing

常用的统计分布，主要记录了上侧分位数、卡方分布、t分布和F分布的定义和性质。

4.3 常用的统计分布

上侧分位数

分位数是一个分界点。

上侧分位数与分布函数\\(F\\)以及水平\\(\\alpha\\)有关，常记为\\(F_\\alpha\\).

含义：

在\\(y=F(x)\\)的图像中，使得直线\\(x=F_\\alpha\\)右侧区域积分面积等于\\(\\alpha\\)的\\(F_\\alpha\\)就是上侧分位数。

常见表述：\\(P\\X>F_\\alpha\\=\\alpha\\)

也就是找出使得右侧面积等于\\(\\alpha\\)的分界点\\(F_\\alpha\\)，计算非常复杂，一般都是通过查表得到\\(F_\\alpha\\).

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\\(\\chi ^2\\)分布

如果\\(X_1,\\cdots,X_n\\)独立，且\\(X_i\\sim N(0,1)\\)，那么\\(\\sum\\limits_i=1^nX_i^2\\)服从\\(\\chi^2\\)分布，记作\\(\\sum\\limits_i=1^nX_i^2\\sim \\chi^2(n)\\). 其中\\(n\\)称为自由度。

• \\(EX=n\\)
• \\(DX=2n\\)

如果\\(X\\sim \\chi^2(n)\\)，当\\(n\\)充分大时，\\(\\fracX-n\\sqrt2n\\)近似服从\\(N(0,1)\\)，即标准正态分布。

可加性

如果\\(X\\sim \\chi^2(m),Y\\sim\\chi^2(n)\\)，\\(X,Y\\)独立，则\\(X+Y\\sim\\chi^2(m+n)\\).

推论

如果\\(X_i\\sim\\chi^2(m_i)\\)且独立，其中\\(1\\le i\\le n\\)，则\\(\\sum\\limits_i=1^nX_i\\sim\\chi^2(\\sum\\limits_i=1^nm_i)\\).

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t分布

\\(X\\sim t(n)\\)

• 当\\(n\\)很小，\\(t\\)分布与正态分布区别很大。
• 当\\(n\\ge30\\)时，\\(t\\)分布与正态分布的区别不大。

定义

如果\\(X\\sim N(0,1),Y\\sim \\chi^2(n)\\)且\\(X,Y\\)独立，则\\(\\fracX\\sqrtY/n\\sim t(n)\\).

\\(t\\)分布关于\\(y\\)轴对称，因此其上侧分位数有性质：

\\[t_1-\\alpha(n)=-t_\\alpha(n) \\]

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F分布

\\(X\\sim F(n_1,n_2)\\)

定义

如果\\(X\\sim \\chi^2(n_1),Y\\sim \\chi^2(n_2)\\)且\\(X,Y\\)独立，则\\(\\fracX/n_1Y/n_2\\sim F(n_1,n_2)\\).

推论

如果\\(X\\sim F(n_1,n_2)\\)，那么\\(\\frac1X\\sim F(n_2,n_1)\\).

上侧分位数有性质：

\\[F_1-\\alpha(n_1,n_2)=\\frac1F_\\alpha(n_2,n_1) \\]

使用教材：
《概率论与数理统计》第四版 中国人民大学 龙永红 主编 高等教育出版社