樱花

Posted 2023-01-21 onlyblues

樱花

给定一个整数 $n$，求有多少正整数数对 $(x,y)$ 满足 $\\frac1x+\\frac1y=\\frac1n!$。

输入格式

一个整数 $n$。

输出格式

一个整数，表示满足条件的数对数量。

答案对 $10^9+7$ 取模。

数据范围

$ 1 \\leq n \\leq 10^6$

输入样例：

2

输出样例：

3

样例解释

共有三个数对 $(x,y)$ 满足条件，分别是 $(3,6)$,$(4,4)$,$(6,3)$。

 

解题思路

\\beginalign*
\\frac1x + \\frac1y &= \\frac1n! \\\\\\\\
\\fracx+yxy &= \\frac1n! \\\\\\\\
x \\cdot n! + y \\cdot n! &= x \\cdot y
\\endalign*

　　可以发现有两个自变量，因此可以通过枚举来固定$x$然后通过$x$与$y$的关系来得到满足条件的$y$。其中$y$关于$x$的函数为$y = \\dfracx \\cdot n!x - n!$。

　　现在问题就变成了有多少个正整数$x$使得$\\dfracx \\cdot n!x - n!$是一个正整数。由于分子分母同时含有$x$不方便处理，因此把分子的$x$去掉。$$y = \\dfracx \\cdot n!x - n! = \\frac(x - n! + n!) \\cdot n!x - n! = n! + \\frac(n!)^2x - n!$$

　　由于$n!$必然是一个正整数，因此问题又变成了有多少个正整数$x$使得$\\dfrac(n!)^2x - n!$是一个正整数。$x$一定正整数，但分母的$x - n!$不一定是正整数，事实上根据$\\frac1x+\\frac1y=\\frac1n!$得到$\\frac1y=\\frac1n! - \\frac1x$，由于$x$和$y$均要满足正整数的条件，因此$x$必然要满足$x > n!$，因此$x - n! > 0$。因此问题就等价于有多少个正整数$x$使得$x - n!$是$(n!)^2$的约数，等价于就是问$(n!)^2$的约数个数。其中如果一个数$N = P_1^\\alpha_1 \\cdot P_2^\\alpha_2 \\cdot \\cdots \\cdot P_n^\\alpha_n$，那么约数的个数为$\\left( \\alpha_1 + 1 \\right) \\cdot \\left( \\alpha_2 + 1 \\right) \\cdot \\cdots \\cdot \\left( \\alpha_n + 1 \\right)$。

　　AC代码如下：

 #include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 
 const int N = 1e6 + 10, mod = 1e9 + 7;
 
 int primes[N], cnt;
 bool vis[N];
 
 void get_prime(int n) 
     for (int i = 2; i <= n; i++) 
         if (!vis[i]) primes[cnt++] = i;
         for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j++) 
             vis[primes[j] * i] = true;
             if (i % primes[j] == 0) break;
         
     
 
 
 int main() 
     int n;
     scanf("%d", &n);
     get_prime(n);
     int ret = 1;
     for (int i = 0; i < cnt; i++) 
         int p = primes[i], s = 0;
         for (int j = n; j; j /= p) 
             s += j / p;
         
         ret = ret * (2ll * s + 1) % mod;
     
     printf("%d", ret);
     
     return 0;
 

 

参考资料

　　AcWing 1294. 樱花（算法提高课）：https://www.acwing.com/video/691/