abc231 E

Posted 2023-01-21 ←

题意：

给定 \\(n\\) 种不同面值的纸币，面值为 \\(a_1,\\cdots ,a_n\\)。问通过给钱和找零支付价格为 \\(x\\) 的商品至少共要多少张纸币

\\(1=a_1<a_2<\\cdots < a_n\\le 1e18\\)

\\(a_i|a_i+1\\)

思路：

\\(dfs(x,S)\\) 表示用面值集合 \\(S\\) 凑出 \\(x\\) 块钱最少要多少张。那么答案是 \\(dfs(x,\\a_1,a_2,\\cdots, a_n\\)\\)

先用 \\(a_1\\) 把 \\(x\\) 变成 \\(a_2\\) 的某个倍数 \\(y\\)，然后就要算 \\(dfs(y,\\a_2,\\cdots, a_n\\)\\)。这个过程是递归的

显然 \\(y\\) 要么是 \\(\\le x\\) 的最大的 \\(a_2\\) 的倍数，要么是 \\(\\ge x\\) 的最小的 \\(a_2\\) 的倍数。

我以为的 dfs 树：

graph x --> a["p=不大于x的最大的a₂的倍数"] & b["q=不小于x的最小的a₂的倍数"] a --> c["不大于p的最大的a₃的倍数"] & d["不小于p的最小的a₃的倍数"] b --> e["不大于q的最大的a₃的倍数"] & f["不小于q的最小的a₃的倍数"] c --> g1[...] & h1[...] d --> g2[...] & h2[...] e --> g3[...] & h3[...] f --> g4[...] & h4[...]

实际上的 dfs 树：每一层最多只有两个不同结点

graph x --> p & q --> r & s --> t & u --> i[...] & j[...]

这挺显然的。如果你觉得不显然，那我们证明一下：

graph x --> p & q p --> r1 & s1 q --> r2 & s2

其中

\\[p=\\lfloor \\frac xa_2 \\rfloor a_2 ,\\ q = \\lceil \\frac xa_2 \\rceil a_2 \\\\ r1 = \\lfloor \\frac pa_3 \\rfloor a_3, \\ s1 = \\lceil \\frac pa_3 \\rceil a_3 , \\ r2 = \\lfloor \\frac qa_3 \\rfloor a_3, \\ s2 = \\lceil \\frac qa_3 \\rceil a_3 \\]

注意到 \\(s1=r1或s1=r1+a_3\\)，\\(s2=r2或s2=r2+a_3\\)，那么

若 \\(r1=r2\\)，则 \\(s2=s1或s2=s1+1\\)，成立；

若 \\(r1\\neq r2\\)，即

\\[\\lfloor \\frac \\lfloor \\frac xa_2\\rfloor a_2 a_3 \\rfloor a_3 \\neq \\lfloor \\frac \\lceil \\frac xa_2\\rceil a_2 a_3 \\rfloor a_3 \\]

记 \\(a_3=ka_2(k>1)\\)，则

\\[\\lfloor \\frac \\lfloor \\frac xa_2\\rfloor k \\rfloor a_3 \\neq \\lfloor \\frac \\lceil \\frac xa_2\\rceil k \\rfloor a_3 \\]

则 \\(\\lfloor \\frac xa_2\\rfloor = mk-1, \\lceil \\frac xa_2\\rceil = mk(m>0)\\)，则 \\(s1=s2\\)，则 \\(r2=r1或r2=r1+1\\)，得证

ll n, x, a[N];
map<ll, ll> f;
ll ceil(ll a, ll b) 
    return (a + b - 1) / b;

ll dfs(ll x, ll i)  // O(n)
    if(!x) return 0;
    if(f.count(x)) return f[x];
    if(i == n) return f[x] = x / a[i];
    return f[x] = min( dfs(x / a[i+1] * a[i+1], i+1) + (x % a[i+1]) / a[i],
        dfs(ceil(x, a[i+1]) * a[i+1], i+1) + (a[i+1]-(x%a[i+1]))/a[i] );

void sol() 
    cin >> n >> x;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> a[i];
    cout << dfs(x, 1);