AcWing1081. 度的数量

Posted 2023-01-20 StkOvflow

题目描述

求给定区间 \\([X,Y]\\) 中满足下列条件的整数个数：这个数恰好等于 \\(K\\) 个互不相等的 \\(B\\) 的整数次幂之和。

例如，设 \\(X = 15, Y = 20, K = 2, B = 2\\)，则有且仅有下列三个数满足题意：

\\(17 = 2^4 + 2^0\\)
\\(18 = 2^4 + 2^1\\)
\\(20 = 2^4 + 2^2\\)

题意剖析

\\(\\qquad\\) 我们把原本的数拆成一个与 \\(B\\) 有关的多项式，系数最高只能是 \\(1\\)（这是因为要求互不相同），会呈现这样的情况：

\\[\\qquad\\large x = a_nB^n+a_n-1B^n-1+a_n-2B^n-2.....+a_2B^2 + a_1B^1+a_0B^0 \\]

\\(\\qquad\\)如果此时我们把系数数列单独提出来(\\(\\forall x\\in a,\\ x\\in[0,1]\\))，会呈现下面的这种情况：

\\[\\large 010101001001010010001010001010 \\]

那么只要在系数数列中有 \\(k\\) 个 \\(1\\) 就说明这个数符合题意。

因此题目转化成：当一个序列对应的B进制数在区间内时，中选出K个1的方案有多少种

解题思路

\\(\\qquad\\) 这种统计关于数字位的题目就采用数位dp，对于区间的方案数可以很自然转化成前缀方案数。

\\(\\qquad\\)问题就是如何进行数位DP
\\(\\qquad 1.\\)首先要把一个数的每一位分解出来，这一步比较简单。

while (x) a[ ++ len] = x % b, x /= b;

\\(\\qquad 2.\\)从最高位开始 \\(DP\\)

状态表示

\\[f[i][j]表示在再第n\\sim i位填数，且已经填入了j个1的方案数 \\]

状态边界

\\[f[0][k] = 1 \\]

状态转移

\\(\\qquad\\) 我比较菜，这里就用记忆化搜索了

搜索参数：\\(dfs(p, cnt, limit)\\)

limit的转移

\\(\\qquad\\) \\(limit\\) 表示的是前面填的数是否和区间右端点对应数相等，当 \\(limit=0\\) 代表 这个位置上可以填所有数，因为上一个数并未着区间右端点的这位上的最高，所以不管这位填谁，都不超出区间。相反，如果 \\(limit = 1\\)，那么我们只能填\\(0\\sim a[p]\\)的数（\\(p\\)是当前搜索的位）。

\\(\\qquad\\)所以我们可以对 \\(limit\\) 的转移做以下分析

\\(\\qquad 1.\\)当\\(limit = 1\\) 且 填的数 \\(i = up\\), 的时候，\\(limit=1\\)
\\(\\qquad 2.\\)当\\(limit = 1\\) 且 填的数 \\(i\\neq up\\) 的时候，\\(limit = 0\\)
\\(\\qquad 3.\\)当\\(limit = 0\\)时，不论如何，\\(limit\\) 只能变成 \\(0\\)

\\(\\qquad\\)得到结论：limit转移到limit&&(i==up)

cnt的转移

\\(\\qquad\\)我们的\\(cnt\\)可以加的时候，只有填入的数 \\(i == 1\\)才可以转移，这个简单，不再赘述

p的转移

\\(\\qquad\\)从最高位开始，每次枚举上一位，这样每次 \\(p-1\\)

所以将上面三者结合起来，可以得到下面的代码

int dp(int p, int cnt, int limit) 

    int &v = f[p][cnt]; //记忆化

    if (!p) return cnt == k; //搜索完毕判断方案合法
    if (!limit && ~v) return v; // 记忆化

    int up = limit ? a[p] : b - 1, res = 0; // limit的限制填数上界

    for (int i = 0; i <= min(up, 1); i ++ ) //最多只能填到1
    
        if (i == 1 && cnt == k) break ; //k个用完了，退出
        int l = limit & (i == up); // limit的转移
        res += dp(p - 1, cnt + (i == 1), l); // 统计子节点送上来的信息
    

    return v = res; // 返回+记忆化

完整代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>

using namespace std;

const int N = 35;
int f[N][N], k, b, l, r;
int a[N << 2], al;

int dp(int p, int cnt, int limit) 

    int &v = f[p][cnt];

    if (!p) return cnt == k;
    if (!limit && ~v) return v;

    int up = limit ? a[p] : b - 1, res = 0;

    for (int i = 0; i <= min(up, 1); i ++ ) 
    
        if (i == 1 && cnt == k) break ;
        int l = limit & (i == up);
        res += dp(p - 1, cnt + (i == 1), l);
    

    return v = res;


int calc(int x) 

    len = 0;
    memset(f, -1, sizeof f);
    while (x) a[ ++ len] = x % b, x /= b;
    return dp(len, 0, 1);


int main() 

    scanf("%d%d%d%d", &l, &r, &k, &b);
    printf("%d\\n", calc(r) - calc(l - 1));
    return 0;