LibreOJ L6210 「美团 CodeM 决赛」tree

Posted 2023-01-17 lhzQAQ 太菜了

难度：$\\texttt?$

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难度：\\(\\texttt?\\)

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有一颗 \\(n\\) 个点的树，每个点有权值 \\(x_i\\)，定义一条简单路径的权值为 \\(f(a_1\\to a_2\\to...\\to a_k)=\\fracx_a_1\\times x_a_2\\times ...\\times x_a_kk\\)，求最小的 \\(f(a_1\\to a_2\\to...\\to a_k)\\) 值。

数据范围：\\(1\\le n\\le500000, 1\\le x_i\\le 10^7\\ \\texttt1s 512MB\\)。

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这题都做不出来我去送外卖吧.jpg

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凭直觉也能想到 \\(1\\le x_i\\le 10^7\\) 肯定是唬人的，考虑只有哪些 \\(x_i\\) 能对答案产生贡献。

首先能想到的就是\\(x_i=1\\)，分子不变，分母 \\(+1\\)，答案肯定会小。
然后就需要推式子了，设目前有连续 \\(z\\) 个数字 \\(p(p>1,z\\ge 1)\\)，其左边有 \\(x\\) 个 \\(1\\)，右边有 \\(y\\) 个 \\(1(1\\le x\\le y)\\)，则这条路径权值为 \\(\\fracp^zx+y+z\\)，而目前要比较的权值为 \\(\\frac1y\\)，需使 \\(\\fracp^zx+y+z<\\frac1y\\)。

• 两边先同时 \\(\\times y\\times (x+y+z)\\)，\\(y\\times p^z<x+y+z\\)。
• 因为 \\(x\\le y\\)，不妨设 \\(x=y\\)，\\(y\\times p^z<2y+z\\)。
• 两边同时减掉 \\(2y\\)，\\(y\\times (p^z-2)<z\\)。

可以发现只有 \\(p=2,z=1\\) 时成立。

那这道题就很明显了，\\(x_i=1\\) 可以随便选，\\(x_i=2\\) 至多选一个，树形 DP 即可。

设 \\(Max1_u\\) 为经过 \\(u\\) 点路径连续为 \\(x_i=1\\) 最多的点数，\\(Max2_u\\) 为经过 \\(u\\) 点路径上存在一个 \\(2\\) 其余的路径连续为 \\(x_i=1\\) 最多的点数（包括 \\(2\\)）。

方程还是挺好推的：\\(Max1_u=\\max\\Max1_v\\+1,Max2_u=\\max\\Max2_v\\+1(x_u=1)Max2_u=\\max\\\\Max1_v\\+1(x_u=2)\\)。
转移时统计答案即可。

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# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 500000;
vector <int> to [N + 10];
int x [N + 10];
int Max1 [N + 10], Max2 [N + 10];
int ans1, ans2;
void DFS (int u, int fa) 
	if (x [u] == 1) 
		Max1 [u] = 1;
	
	else if (x [u] == 2) 
		Max2 [u] = 1;
	
	for (int v : to [u]) 
		if (v == fa) 
			continue;
		
		DFS (v, u);
		ans1 = max (ans1, Max1 [u] + Max1 [v]);
		ans2 = max (ans2, max (Max1 [u] + Max2 [v], Max2 [u] + Max1 [v]));// 两段拼起来
		if (x [u] == 1) 
			Max1 [u] = max (Max1 [u], Max1 [v] + 1);
			Max2 [u] = max (Max2 [u], Max2 [v] + 1);
		
		else if (x [u] == 2) 
			Max2 [u] = max (Max2 [u], Max1 [v] + 1);
		
	
	return ;

const int A = 500000;
int main () 
	int n;
	scanf ("%d", & n);
	for (int i = 1; i < n; ++ i) 
		int x, y;
		scanf ("%d %d", & x, & y);
		to [x] .push_back (y);
		to [y] .push_back (x);
	
	int Min = A;
	for (int i = 1; i <= n; ++ i) 
		scanf ("%d", & x [i]);
		Min = min (Min, x [i]);
	
	if (Min > 1) 
		printf ("%d/1", Min);
		return 0;
	
	DFS (1, 0);
	if ((ans1 << 1) > ans2) // 注意这里实际上是 1 / ans1 和 2 / ans2 分母大的对应的分数更小
		printf ("1/%d", ans1);
	
	else 
		if (ans2 & 1) 
			printf ("2/%d", ans2);
		
		else 
			printf ("1/%d", ans2 >> 1);
		
	
	return 0;