算法学习笔记(8.2): 上下界网络流

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了算法学习笔记(8.2): 上下界网络流相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

上下界网络流

前置知识以及更多芝士参考下述链接
网络流合集链接:网络流

上下界网络流是普通网络流的一种变体,对于网络流,我们不仅关注其流量的上界,下届同样有所体现。
题型大致有五种

  • 有源汇
  • 无源汇
  • 可行流
  • 最大流
  • 最小流

虽然听着挺唬人的……其实理解了也非常简单


无源汇可行流

这是上下界网络流的基础,也是最简单的一种

给定一个没有源点和汇点,每条边有上下界的流量网络,目的是求有没有一种可能的流使得流量守恒

流量守恒:每一个点流入和流出的量相等


考虑这样一个图

我们先画出两个图

稍后解释是什么,以及有什么用

下界网络:

以及差界网络:

我们根据原图原图结构构造出了两张图

下界网络每一条边对应着流量下界,差界网络的每一条边容量对应着原图流量上下界的差

我们希望两个网络流相加之后恰好是原图的一种可行流,这首先要求下界网络是满流的(可行流至少必须达到下界)

但是考虑到流量守恒,我们需要对下界网络上不平衡的结点在差界网络上进行处理

首先我们在下界网络中新建一个虚拟源点 \\(S\'\\) 和虚拟汇点 \\(T\'\\)

本文中虚拟的点都以 \\(\'\\) 结尾

接着考虑在下界网络中的一个点 \\(x\\), 我们假设其流入流量为 \\(in(x)\\), 流出流量为 \\(out(x)\\)

那么一共会出现三种情况:

  • \\(in(x) \\gt out(x)\\) 即流入大于流出。那么在差界网络中,我们需要补齐多流入的部分。那么我们通过虚拟源点向点 \\(x\\) 连一条容量为 \\(in(x) - out(x)\\) 的边。

  • \\(in(x) = out(x)\\) 即流入等于流出,此时不需要处理

  • \\(in(x) \\lt out(x)\\) 即流入小于流出,那么在差界网络中,我们需要补齐多流出的部分,所以,\\(x\\) 向虚拟汇点连一条容量为 \\(out(x) - in(x)\\)

通过上述处理之后,差界图就变为了:

左图为处理过的差界网络,右图为下界网络

在保证了下界网络的流量守恒之后,我们在修改过的差界网络上从 \\(S\'\\)\\(T\'\\) 跑一次最大流,把每一条在原图上的边的流量加回到下界网络中,就是获得了一种可行流

但是,总归是有不可行的时候:如果我们新建的附加边没有达到满流状态,表明在差网络没有办法补齐下界网络中的不守恒,也就是说,原网络中不存在可行流。

在实际中,我们并不需要建立下界网络,只需要对于查网络进行处理即可

在最后判断的时候只需要判断所有关于源点的附加边是否满流,或者所有关于汇点的附加边即可

有源汇上下界可行流

思考一下,在有源汇的网络流中,流是如何”流动“的

很明显,是从源点到汇点

也就是说,源点吐出流量,汇点吃到流量,且源点吐出和汇点吃掉的流量一定一是一样

那么考虑我们如何将流量恒定的留在网络中?

很明显,我们把汇点吃掉的流量流回源点即可

换句话来说,我们只需要在实际汇点 \\(T\\) 到源点 \\(S\\) 连接一条流量为 \\(INF\\) 的边就行了

如此处理之后,我们就把源点和汇点处理成网络中的一般点

接着我们就只需要把它与一般的无源汇图进行一样的处理即可

如何寻找可行流流量?

由于我们将源点的流量流回了汇点,所以实际流量就是我们新建的从汇点到源点的边上的流量

处理之后大致是这样的

有源汇上下界最大流

考虑我们在处理后的图中得到了一个可行流,但是从实际源点与实际汇点间还可能有额外的流量

注意一下,下面是在跑完第一次最大流的剩余网络的基础上进行操作

最小流亦是

所以我们把在差界网络新建的所有额外边的流量设为 \\(0\\)(相当于删除这些边)然后再从 \\(S\\)\\(T\\) 跑一次最大流即可

形象一点,我们在跑 \\(S\'\\)\\(T\'\\) 的最大流时并不一定榨干了 \\(S\\)\\(T\\) 的剩余流量,所以还需要再榨一次 \\gou

那么此时原网络的最大流即是两次跑最大流的流量和

模板题:Zoj3229 Shoot the Bullet|东方文花帖|【模板】有源汇上下界最大流 - 洛谷

NOTICE: 在这种稠密图上跑最大流,还是必要当前弧优化的,不然会死的很惨……

有源汇上下界最小流

与最大流类似,但是不是榨干了,是把榨了的还回去 有种心虚的感觉

所以,同样处理所有新建的额外边,但是这次是从 \\(T\\)\\(S\\) 跑一次最大流

可以看作把流量流回去

此时原网络的最小流即是两次最大流的流量差

作者有话说

如果我们在求最大或者最小流的时候采用的是ISAP算法,那么千万要记住,在删除边之后需要更改源点汇点重新跑一次BFS更新深度(其实不更新也没大问题,反正错了也不给钱是吧 _

以上是关于算法学习笔记(8.2): 上下界网络流的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

有上下界网络流ZOJ2314 Reactor Cooling

Day5网络流

有上下界的网络流1-无源汇带上下界网络流SGU194

P4843 清理雪道(上下界网络流)

上下界网络流

上下界的网络流模板