「闲话随笔」势能分析法

Posted 2023-01-13 Keven-He

「闲话随笔」势能分析法

点击查看目录

目录

• 「闲话随笔」势能分析法
  • 简介
  • 分析
  • 例题
    • 二进制计数器
    • 单调栈
    • Splay

这闲话已经被催了两天了，累死我了。

感谢 joke3579 帮我找到了 Tarjan 的论文。虽然没看懂只截了一下里面的图。

语文考了 82，需要单独给语文老师发作业，很闹心。

今日推歌：盲龙默虎 feat.洛天依 vs 言和。

iKz 老师的《一年一度武斗大赛》系列是不是快要更了？

简介

一种挺神奇的分析时间复杂度的方法。

一个算法/数据结构单次操作的复杂度难以计算时可以用势能分析法。

分析

设第 \\(i\\) 次操作的时间复杂度为 \\(a_i\\)，显然总复杂度为 \\(\\sum_i=1^na_i\\)。

构造一个势能函数 \\(\\phi(i)\\) 表示第 \\(i\\) 次操作后的势能，设 \\(\\Delta_\\phi(i)\\) 表示单次的势能变化，即 \\(\\Delta_\\phi(i)=\\phi(i)-\\phi(i-1)\\)。

设摊还代价 \\(b_i=a_i+\\Delta_\\phi(i)\\)，则：

\\[\\sum_i=1^na_i=(\\sum_i=1^na_i+\\Delta_\\phi(i))-\\sum_i=1^n\\Delta_\\phi(i)=\\sum_i=1^nb_i+\\phi(0)-\\phi(n) \\]

不知道我在说什么，对不对？看起来啥用没有，对不对？

不对就怪了

实际上我们虽然无法算出具体的 \\(a_i\\)，但是可以用未知数表示出来，这个时候构造一个优秀的势能函数，就可以巧妙地将 \\(b_i\\) 化为一个数或是求出其上限。

看看例题就都明白了。

例题

二进制计数器

题意：

一个二进制下的计数器，每次累加 \\(1\\)，做 \\(n\\) 次累加，求操作的次数。

定义一次操作为一位上发生变化，因此每次累加 \\(1\\) 可能会带有多次操作。

设每次累加会有 \\(x\\) 位 \\(1\\) 变为 \\(0\\)，那么 \\(a_i=x+1\\)（还会有一个 \\(0\\) 变为 \\(1\\)）。

那么构造势能函数 \\(\\phi(i)\\) 表示累加 \\(i\\) 次后数字里有多少个一。

显然 \\(\\Delta_\\phi(i)=1-x\\)。

然后就发生了一件神奇的事：\\(b_i=(x-1)+(1-x)=2\\)！

然后化简原式得到复杂度 \\(2n-\\phi(n)\\le 2n\\)。

单调栈

不会单调栈就来学这个是不是有点过猛了。

显然单调栈不用这么麻烦地分析，但确实可以这么用。

设每次操作会有 \\(x\\) 个元素弹出，\\(1\\) 个元素加入，那么 \\(a_i=x+1\\)。

那么构造势能函数 \\(\\phi(i)\\) 表示当前栈内元素个数。

显然 \\(\\Delta_\\phi(i)=1-x\\)。

然后就发生了一件神奇的事：\\(b_i=(x-1)+(1-x)=2\\)！

然后化简原式得到复杂度 \\(2n-\\phi(n)\\le 2n\\)。

然后还发生了一件神奇的事：这个过程和上个过程居然没啥区别。

Splay

默认读者已经会 splay 了，不会的话去网上搜 或者等我平衡树学习笔记写完了再看

定义 \\(x\\) 为一棵 splay 上的一个节点，\\(x\'\\) 为 \\(x\\) 旋一次后的位置，\\(\\left|x\\right|\\) 为以 \\(x\\) 为根的子树的大小，\\(\\phi_j(x)=\\log_2\\left|x\\right|\\) 为一次 splay 操作中第 \\(j\\) 次操作后节点 \\(x\\) 的势能，\\(\\Phi_j\\) 为一次 splay 操作中第 \\(j\\) 次操作后整棵树的势能。

然后我们开始分析三种旋转情况的 \\(a_i\\):

1. 旋上根（\\(\\textzig\\)）：

   

   可以发现转一次只会有 \\(x\\) 和 \\(y\\) 的势能发生变化。

   显然 \\(\\phi_j(x)=\\phi_j-1(y)\\)。

   \\[\\beginaligned b_\\textzig&=a_j+\\Delta_\\Phi_j\\\\ &=1+\\phi_j(x)+\\phi_j(y)-\\phi_j-1(x)-\\phi_j-1(y)\\\\ &=1+\\phi_j(y)-\\phi_j-1(x)\\\\ \\endaligned \\]

2. 三点共线（\\(\\textzig-zig\\)）：

   

   可以发现转一次只会有 \\(x,y\\) 和 \\(z\\) 的势能发生变化。

   显然 \\(\\phi_j(x)=\\phi_j-1(z)\\)。

   \\[\\beginaligned b_\\textzig-zig&=a_j+\\Delta_\\Phi_j\\\\ &=2+\\phi_j(x)+\\phi_j(y)+\\phi_j(z)-\\phi_j-1(x)-\\phi_j-1(y)-\\phi_j-1(z)\\\\ &=2+\\phi_j(y)+\\phi_j(z)-\\phi_j-1(x)-\\phi_j-1(y)\\\\ \\endaligned \\]

   注意到这个 \\(2\\) 长得很难看，尝试把它去掉。

   不难发现 \\(\\left|x\\right|+\\left|z\'\\right|+1=\\left|x\'\\right|\\)，因此 \\(\\left|x\'\\right|^2>4\\cdot\\left|x\\right|\\cdot\\left|z\'\\right|\\)，那么：

   \\[\\phi_j-1(x)+\\phi_j(z)-2\\phi_j(x)=\\log_2\\frac\\left|x\\right|\\cdot\\left|z\'\\right|\\left|x\'\\right|^2\\le\\log_2\\frac14=-2 \\]

   然后代入一下原式：

   \\[\\beginaligned b_\\textzig-zig&=2+\\phi_j(y)+\\phi_j(z)-\\phi_j-1(x)-\\phi_j-1(y)\\\\ &=2\\phi_j(x)-\\phi_j-1(x)-\\phi_j(z)+\\phi_j(y)+\\phi_j(z)-\\phi_j-1(x)-\\phi_j-1(y)\\\\ &=2\\phi_j(x)-2\\phi_j-1(x)+\\phi_j(y)-\\phi_j-1(y)\\\\ &\\le3(\\phi_j(x)-\\phi_j-1(x)) \\endaligned \\]

   这样就求出了它的上限。

3. 三点不共线（\\(\\textzig-zag\\)）：

   

   比较像上面的式子。

   \\[\\beginaligned b_\\textzig-zig&=a_j+\\Delta_\\Phi_j\\\\ &=2+\\phi_j(x)+\\phi_j(y)+\\phi_j(z)-\\phi_j-1(x)-\\phi_j-1(y)-\\phi_j-1(z)\\\\ &=2+\\phi_j(y)+\\phi_j(z)-\\phi_j-1(x)-\\phi_j-1(y)\\\\ \\endaligned \\]

   然后由于 \\(\\left|y\'\\right|+\\left|z\'\\right|+1=\\left|x\'\\right|\\)：

   \\[\\phi_j(y)+\\phi_j(z)-2\\phi_j(x)=\\log_2\\frac\\left|y\'\\right|\\cdot\\left|z\'\\right|\\left|x\'\\right|^2\\le\\log_2\\frac14=-2 \\]

   然后代入原式：

   \\[\\beginaligned b_\\textzig-zig&=2+\\phi_j(y)+\\phi_j(z)-\\phi_j-1(x)-\\phi_j-1(y)\\\\ &=2\\phi_j(x)-\\phi_j(y)-\\phi_j(z)+\\phi_j(y)+\\phi_j(z)-\\phi_j-1(x)-\\phi_j-1(y)\\\\ &=2\\phi_j(x)-\\phi_j-1(x)-\\phi_j-1(y)\\\\ &\\le2(\\phi_j(x)-\\phi_j-1(x)) \\endaligned \\]

现在我们把三种旋转的摊还代价算出来了，问题变成了如何算出一次 splay 操作的摊还代价。

显然一次 splay 操作会进行若干次 \\(\\textzig-zig\\)， \\(\\textzig-zag\\) 和至多一次 \\(\\textzig\\)，那么：

\\[b_i\\le\\sum_i=1^k3(\\phi_j(x)-\\phi_j-1(x))=3(\\phi_k(x)-\\phi_0(x))=O(\\log_2\\frac\\left|x\'\\right|\\left|x\\right|)\\le O(\\log_2n) \\]

然后由于 \\(0\\le\\Phi_i\\le n\\log_2n\\)，\\(-n\\log_2n\\le\\Phi_0-\\Phi_n\\le n\\log_2n\\)。

所以总复杂度为：

\\[\\sum_i=1^ma_i=\\sum_i=1^mb_i+\\Phi_0-\\Phi_n\\le O(m\\log_2n)+O(n\\log_2n)=O((m+n)\\log_2n) \\]

\\[\\Huge\\mathfrakThe\\ End \\]

本文来自博客园，作者：Keven-He，转载请注明原文链接：https://www.cnblogs.com/Keven-He/p/chat_20230112.html