CQOI2007，洛谷P4710涂色

Posted 2023-01-12 StkOvflow

题目描述

假设你有一条长度为 \\(5\\) 的木版，初始时没有涂过任何颜色。

你希望把它的 \\(5\\) 个单位长度分别涂上红、绿、蓝、绿、红色，用一个长度为 \\(5\\) 的字符串表示这个目标：RGBGR。

每次你可以把一段连续的木版涂成一个给定的颜色，后涂的颜色覆盖先涂的颜色。

例如第一次把木版涂成 RRRRR，第二次涂成 RGGGR，第三次涂成 RGBGR，达到目标。

用尽量少的涂色次数达到目标。

解题思路

\\(\\qquad\\)由于题目每次的操作都是对于一个区间进行操作，所以我们可以想到用区间DP求解。

\\[状态表示：f(l, r)表示将区间[l,r]染色成目标颜色最少需要的染色次数 \\]

关于状态转移：

对于一个状态\\(f(l,r)\\)，我们进行如下分类讨论：

\\[\\beginarrayc 1.当l==r的时候，代表只有一个格子，所以只需要1次\\Rightarrow f(l,r)= 1; \\\\\\\\ 2.当s[l] = s[r] 的时候（s是目标字符串），只要在[l.r]的子区间[l+1,r]\\\\ 染色的时候向左边多染一个，仍然是符合目标值的\\Rightarrow f(l,r) = f(l+1,r) \\\\\\\\ 3.当s[l]\\neq s[r]的时候，代表[l,r]这个区间将被染成两端不同的分别连续\\\\ 的颜色，\\forall k\\in[l,r)都可以作为断点，将区间分为[l,k]和[k+1,r]两块，得到\\\\\\\\ [l,r]区间应该是分成的两个子区间之和\\\\枚举所有断点即可。 \\Rightarrow f(i,j) = min(f(i,j), f(i, k) + f(k + 1, j))\\ (i\\le k < j) \\endarray\\]

整理上述情况就能得到\\(DP\\)的状态转移方程：

\\[\\Large f(i, j) = \\left \\ \\beginalign &1\\ \\ \\ \\ (i == j)\\\\ &f(i + 1, j)\\ \\ \\ (s[i]==s[j])\\\\ &min (f(i, k) + f(k + 1,j))\\ \\ (k\\in[l,r-1] \\endalign \\right. \\]

然后按照方程 乱搞 写就行了

这里放两份代码，分别是递推\\(DP\\)和记搜

递推

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 110, INF = 0x3f3f3f3f;
int f[N][N], n;
char s[N]; 

int main() 

	cin >> s + 1;
	int n = strlen(s + 1);
	
	memset(f, 0x3f, sizeof f);
	
	for (int i = 1; i <= n; i ++ ) f[i][i] = 1;
	
	for (int len = 2; len <= n; len ++ ) 
	
	    for (int i = 1, j = i + len - 1; j <= n; i ++, j ++ ) 
	    
	        if (s[i] == s[j]) f[i][j] = f[i + 1][j];
	        else 
	            for (int k = i; k < j; k ++ )
	                f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k + 1][j]);
	    
	
	
	printf("%d\\n", f[1][n]);
	
	return 0;

记搜

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 110, INF = 0x3f3f3f3f;
int f[N][N], n;
char s[N]; 

int dp(int l, int r) 

	int &v = f[l][r];
	if (~v) return v;
	if (l == r) return v = 1;
	
	v = INF;
	if (s[l] == s[r]) 
		return v = dp(l + 1, r);
	else 
		for (int k = l; k < r; k ++ ) 
			v = min(v, dp(l, k) + dp(k + 1, r));
	
	return v;


int main() 

	cin >> s + 1;
	int n = strlen(s + 1);
	
	memset(f, -1, sizeof f);
	cout << dp(1, n) << endl;
	
	return 0;