P2448 无尽的生命

Posted 2023-01-12 你好！晴天！

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题意简述

看到题目显而易见是求逆序对个数。

思路分析

看到数据范围 \\(x_i,y_i \\le 2^31-1\\)，\\(k \\le 10^5\\)。数据值域大但是个数少，且与数据之间的大小关系有关，因此考虑离散化。

离散化简单介绍

离散化实际就是一种映射，当数据值域过大而个数有限时，可以尝试离散化。

具体过程以此题为例。假设给出这么一组数据

2

123456789 123456

987654321 123456

首先将所有出现过的数收集起来，存进 \\(a\\) 数组，并进行排序，然后再去重保存进 \\(pos\\) 数组当中。

接下来就可以建立映射关系。将数值大的数在 \\(num\\) 数组中用数值小的数代替，但各个数之间的大小关系不变，接下来交换操作先用二分答案在 \\(pos\\) 数组中检索，然后通过映射在 \\(num\\) 数组中进行交换。

最终被交换过的数之间的逆序对在 \\(num\\) 数组中求即可。

被交换的数与未被交换的数之间的逆序对

考虑每个被交换的数对答案的贡献。

设 \\(x<y\\),当 \\(x\\) 和 \\(y\\) 交换后。

对于 \\(x\\) 来说, \\(x \\sim y\\) 之间所有未被交换的数都比 \\(x\\) 大，形成逆序对。

对于 \\(y\\) 来说，\\(x \\sim y\\) 之间所有未被交换的数都比 \\(y\\) 小，形成逆序对。

逆序对个数都为\\(x \\sim y\\) 之间所有未被交换的数。

温馨提示：以下主要为代码实现讲解，本质思想同上。

对于交换过后的 \\(num\\) 数组，\\(num_i\\) 表示的是位置 \\(pos_i\\) 上当前所在的数在 \\(num\\) 数组中对应的数。记数 \\(x\\) 为位置 \\(pos_i\\) 上当前所在的数。

\\(pos_num_i\\) 表示数 \\(x\\) 现在所在的位置。

\\(pos_i\\) 表示数 \\(x\\) 原来在的位置。

\\(\\left\\vert pos_i-pos_num_i-1\\right\\vert\\) 表示两个位置间所有的数。

\\(\\left\\vert num_i-i-1\\right\\vert\\) 表示两个位置间所有被交换过的数。

因此所有未被交换的数就为 \\(\\left\\vert pos_i-pos_num_i-1\\right\\vert - \\left\\vert num_i-i-1\\right\\vert\\)。

code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
struct A
	int x,y;
a[100005];
int k,pos[200005],num[200005],cnt,len;
int t[100005];
void add(int x)
	for(;x<=len;x+=(x&-x)) t[x]+=1;

long long sum(int x)
	long long ans=0;
	for(;x;x-=(x&-x)) ans+=t[x];
	return ans;

int find(int x)
	int l=1,r=len;
	while(l<r)
		int mid=(l+r)>>1;
		if(pos[mid]<x) l=mid+1;
		else if(pos[mid]>x) r=mid-1;
		else return mid;
	
 
int main()
	scanf("%d",&k);
	for(int i=1;i<=k;i++)
		scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y);
		num[++cnt]=a[i].x;
		num[++cnt]=a[i].y;
	
	sort(num+1,num+cnt+1);
	for(int i=1;i<=cnt;i++)
		if(num[i]==num[i-1]) continue;
		pos[++len]=num[i];
	
	for(int i=1;i<=len;i++) num[i]=i;
	for(int i=1;i<=k;i++)
		int pos1=find(a[i].x);
		int pos2=find(a[i].y);
		swap(num[pos1],num[pos2]);
	
	long long ans=0;
	for(int i=len;i>=1;i--)
		add(num[i]);
		ans+=sum(num[i]-1);
		ans+=abs(pos[num[i]]-pos[i]-1)-abs(num[i]-i-1); 
	 
	cout<<ans<<endl;
	return 0;