洛谷P1040. 加分二叉树

Posted 2023-01-12 StkOvflow

题目描述

设一个 \\(n\\) 个节点的二叉树 tree 的中序遍历为（\\(1,2,3,…,n\\)），其中数字 \\(1,2,3,…,n\\) 为节点编号。

每个节点都有一个分数（均为正整数），记第 \\(i\\) 个节点的分数为 \\(d_i\\)，tree 及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树 subtree（也包含 tree 本身）的加分计算方法如下：

subtree的左子树的加分 \\(×\\) subtree的右子树的加分 \\(＋\\) subtree的根的分数

若某个子树为空，规定其加分为 \\(1\\)。

叶子的加分就是叶节点本身的分数，不考虑它的空子树。

试求一棵符合中序遍历为（\\(1,2,3,…,n\\)）且加分最高的二叉树 tree。

要求输出：

（1）tree的最高加分

（2）tree的前序遍历

输入格式

第 \\(1\\) 行：一个整数 \\(n\\)，为节点个数。

第 \\(2\\) 行：\\(n\\) 个用空格隔开的整数，为每个节点的分数（\\(0<\\)分数\\(<100\\)）。

输出格式

第 \\(1\\) 行：一个整数，为最高加分（结果不会超过int范围）。

第 \\(2\\) 行：\\(n\\) 个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。如果存在多种方案，则输出字典序最小的方案。

解题思路

\\(\\qquad\\)这题初看没有入手点，但是题目有一个特殊的条件：中序遍历是\\(1\\sim n\\)的升序，这也就代表我们可以抽象一下，将这棵树压扁，就可以到一个数轴上，是一个完整的区间\\([1,n]\\)，所以我们可以考虑一下区间\\(DP\\)。

状态表示

\\[用f(l,r)表示数轴上区间[l,r]的最大加分 \\]

状态计算

\\(\\qquad\\)一个区间的切割方法就是：对于区间\\(f[l,r]\\)，我们在这个子树上假设它的根节点是\\(k\\)，那么在\\(k\\)左边的区间都是以\\(k\\)为根的二叉树的左子，右边区间同理。所以对于以\\(k\\)为根的树，左子为\\([l,k-1]\\)，右子为\\([k+1,r]\\)，根据题目的加分规则，那$$\\large score_tree = score_left\\times score_right + w_root$$

\\(\\qquad\\)此外还要注意，因为二叉树允许没有左子或者没有右子，因此\\(k\\)应该在\\([l,r]\\)而非\\([l+1,r-1]\\)枚举，并且对于\\(l=k\\)的情况，\\(score_left=1\\)，右子同理。

状态统计

\\(\\qquad\\)由于题目需要输出二叉树的前序遍历，所以我们在\\(DP\\)的时候要保存一些信息。

补充：二叉树的前序遍历，先输出根，再递归左子，再递归右子。

\\(\\qquad\\)对于这个最大方案的根，我们可以在\\(DP\\)的过程中顺便保存让\\([l,r]\\)区间加分最大的根节点\\(g[l,r]\\)，为了让字典序最小，我们让断点\\(k\\)从左向右扫描，遇到更大的值就要\\(f[]和g[]\\)一起更新，当值相同的时候，以\\(k\\)越小越好。

然后在输出的时候递归处理：

void print(int l, int r) 

    if (l > r) return ; // 不构成节点
    int k = g[l][r]; // 根节点 
    printf("%d ", k);
    print(l, k - 1), print(k + 1, r); // 分别递归左右子

代码

会贴两份，递推\\(DP\\)和记忆化搜索

递推DP

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 50;
int f[N][N], g[N][N], n, w[N];

void print(int l, int r) 

    if (l > r) return ; // 不构成节点
    int k = g[l][r]; // 根节点 
    printf("%d ", k);
    print(l, k - 1), print(k + 1, r); // 分别递归左右子


int main() 

    scanf("%d", &n);
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d", &w[i]);
    
    memset(f, 0xcf, sizeof f);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) 
        g[i][i] = i, f[i][i] = w[i]; // 长度为1的叶子节点分数和根的初始化
    
    for (int len = 2; len <= n; len ++ ) //长度为1的初始化过了，从2开始
    
        for (int l = 1, r = l + len - 1; r <= n; l ++, r ++ ) //枚举左端点和右端点
        
            for (int k = l; k <= r; k ++ ) // 枚举断点
            
                int &v = f[l][r], u, L, R;
                L = (k == l) ? 1 : f[l][k - 1]; // 如果k == l代表没有左子树，左分数为1
                R = (k == r) ? 1 : f[k + 1][r]; // 如果k == r代表没有右子树
                u = L * R + w[k]; // 分数计算
                if (u > v) v = u, g[l][r] = k; // 更新信息
            
        
    
    
    printf("%d\\n", f[1][n]);
    print(1, n);
    
    return 0;

记忆化搜索

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 50;
int w[N], f[N][N], g[N][N], n;

int dp(int l, int r) 

    int &v = f[l][r];
    if (~v) return v; // 算过的直接调用
    if (l == r) return g[l][r] = l, f[l][r] = w[l]; // 叶子节点的处理
    
    for (int k = l; k <= r; k ++ ) 
    
        int u, L, R;
        L = (k == l) ? 1 : dp(l, k - 1); // 如果k == l代表没有左子树，左分数为1
        R = (k == r) ? 1 : dp(k + 1, r); // 右子同理
        u = L * R + w[k];
        if (u > v) g[l][r] = k, v = u;
    
    
    return v;


void print(int l, int r) 

    if (l > r) return ;
    int k = g[l][r];
    printf("%d ", k);
    print(l, k - 1), print(k + 1, r);


int main() 

    scanf("%d", &n);
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d", &w[i]);
    
    memset(f, -1, sizeof f);
    printf("%d\\n", dp(1, n));
    print(1, n);
    
    return 0;