复旦大学2022--2023学年第一学期（22级）高等代数I期末考试第七大题解答

Posted 2023-01-12 谢启鸿高等代数官方博客

七、(10分)  设分块矩阵 $A=\\beginpmatrix A_11 & A_12 \\\\ A_21 & A_22 \\\\ \\endpmatrix$, $B=\\beginpmatrix B_11 & B_12 \\\\ B_21 & B_22 \\\\ \\endpmatrix$, 其中 $A_11,B_11$ 都是 $k$ 阶方阵, $A_22,B_22$ 都是 $n-k$ 阶方阵, 且满足 $r(A)=r(A_11)$, $r(B)=r(B_22)$. 求证:

$$\\beginvmatrix A_11 & B_12 \\\\ A_21 & B_22 \\\\ \\endvmatrix\\cdot\\beginvmatrix A_11 & A_12 \\\\ B_21 & B_22 \\\\ \\endvmatrix=|A+B|\\cdot|A_11|\\cdot|B_22|.$$

证法 1  由 $r(A)=r(A_11)$ 可得 $r(A_11\\mid A_12)=r(A_11)$ 以及 $r\\beginpmatrix A_11 \\\\ A_21 \\\\ \\endpmatrix=r(A_11)$. 再由高代白皮书例 3.105 及其转置版本可知, 存在矩阵 $M,N$, 使得 $A_11N=A_12$, $MA_11=A_21$. 考虑如下分块初等变换: 第一分块行左乘 $-M$ 加到第二分块行上, 再将第一分块列右乘 $-N$ 加到第二分块列上, 可得

$$\\beginpmatrix A_11 & A_12 \\\\ A_21 & A_22 \\\\ \\endpmatrix\\to \\beginpmatrix A_11 & A_12 \\\\ O & A_22-MA_12 \\\\ \\endpmatrix\\to \\beginpmatrix A_11 & O \\\\ O & A_22-MA_12 \\\\ \\endpmatrix.$$

由于矩阵的秩在分块初等变换下不改变, 故 $r\\beginpmatrix A_11 & A_12 \\\\ A_21 & A_22 \\\\ \\endpmatrix=r(A_11)+r(A_22-MA_12)$, 比较条件可得 $r(A_22-MA_12)=0$, 于是 $A_22=MA_12=MA_11N$. 同理, 由 $r(B)=r(B_22)$ 可知, 存在矩阵 $P,Q$, 使得 $B_12=PB_22$, $B_21=B_22Q$, $B_11=PB_22Q$.

证法 1.1 (矩阵乘法)  注意到

$$\\beginpmatrix A_11 & B_12 \\\\ A_21 & B_22 \\\\ \\endpmatrix=\\beginpmatrix A_11 & PB_22 \\\\ MA_11 & B_22 \\\\ \\endpmatrix=\\beginpmatrix I_k & P \\\\ M & I_n-k \\\\ \\endpmatrix\\beginpmatrix A_11 & O \\\\ O & B_22 \\\\ \\endpmatrix,$$

故由矩阵乘积的行列式定理可得

$$\\beginvmatrix A_11 & B_12 \\\\ A_21 & B_22 \\\\ \\endvmatrix\\cdot\\beginvmatrix A_11 & A_12 \\\\ B_21 & B_22 \\\\ \\endvmatrix=\\beginvmatrix I_k & P \\\\ M & I_n-k \\\\ \\endvmatrix\\cdot\\beginvmatrix A_11 & O \\\\ O & B_22 \\\\ \\endvmatrix\\cdot\\beginvmatrix A_11 & A_11N \\\\ B_22Q & B_22 \\\\ \\endvmatrix$$

$$=\\beginvmatrix I_k & P \\\\ M & I_n-k \\\\ \\endvmatrix\\cdot\\beginvmatrix A_11 & A_11N \\\\ B_22Q & B_22 \\\\ \\endvmatrix\\cdot|A_11|\\cdot|B_22|$$

$$=\\beginvmatrix A_11+PB_22Q & A_11N+PB_22 \\\\ MA_11+B_22Q & MA_11N+B_22 \\\\ \\endvmatrix\\cdot|A_11|\\cdot|B_22|=|A+B|\\cdot|A_11|\\cdot|B_22|.$$

证法 1.2 (初等变换)  将矩阵 $\\beginpmatrix A_11 & B_12 \\\\ A_21 & B_22 \\\\ \\endpmatrix$ 的第一分块行左乘 $-M$ 加到第二分块行上, 将矩阵 $\\beginpmatrix A_11 & A_12 \\\\ B_21 & B_22 \\\\ \\endpmatrix$ 的第二分块列右乘 $-Q$ 加到第一分块列上, 可得

$$\\beginvmatrix A_11 & B_12 \\\\ A_21 & B_22 \\\\ \\endvmatrix=\\beginvmatrix A_11 & B_12 \\\\ O & B_22-MB_12 \\\\ \\endvmatrix=|A_11|\\cdot|B_22-MB_12|,\\quad\\cdots(*)$$

$$\\beginvmatrix A_11 & A_12 \\\\ B_21 & B_22 \\\\ \\endvmatrix=\\beginvmatrix A_11-A_12Q & A_12 \\\\ O & B_22 \\\\ \\endvmatrix=|A_11-A_12Q|\\cdot|B_22|.\\quad\\cdots(\\dagger)$$

将 $A+B$ 的第一分块行左乘 $-M$ 加到第二分块行上, 再将第二分块列右乘 $-Q$ 加到第一分块列上, 可得

$$|A+B|=\\beginvmatrix A_11+B_11 & A_12+B_12 \\\\ A_21+B_21 & A_22+B_22 \\\\ \\endvmatrix=\\beginvmatrix A_11+B_11 & A_12+B_12 \\\\ B_21-MB_11 & B_22-MB_12 \\\\ \\endvmatrix=\\beginvmatrix A_11-A_12Q & A_12+B_12 \\\\ O & B_22-MB_12 \\\\ \\endvmatrix=|A_11-A_12Q|\\cdot|B_22-MB_12|.\\quad\\cdots(\\sharp)$$

最后由 $(*)$ 式, $(\\dagger)$ 式和 $(\\sharp)$ 式即得本题结论.

证法 2 (降阶公式)  由 $r(A)=r(A_11)$ 可得 $r(A_11\\mid A_12)=r(A_11)$. 若 $A_11$ 为奇异阵, 即 $r(A_11)<k$, 则 $r(A_11\\mid A_12)<k$, 即 $(A_11\\mid A_12)$ 的行向量线性相关, 从而 $\\beginpmatrix A_11 & A_12 \\\\ B_21 & B_22 \\\\ \\endpmatrix$ 的行向量也线性相关, 故 $\\beginpmatrix A_11 & A_12 \\\\ B_21 & B_22 \\\\ \\endpmatrix$ 也为奇异阵, 此时要证的等式显然成立. 同理, 若 $B_22$ 为奇异阵, 则 $\\beginpmatrix A_11 & B_12 \\\\ A_21 & B_22 \\\\ \\endpmatrix$ 也为奇异阵, 此时要证的等式显然成立. 以下不妨设 $A_11,B_22$ 都是非异阵.

由秩的降阶公式可得 $r(A)=r(A_11)+r(A_22-A_21A_11^-1A_12)$, 再由 $r(A)=r(A_11)$ 可得 $A_22=A_21A_11^-1A_12$. 同理, 由 $r(B)=r(B_22)$ 可得 $B_11=B_12B_22^-1B_21$.

由行列式的降阶公式可得

$$\\beginvmatrix A_11 & B_12 \\\\ A_21 & B_22 \\\\ \\endvmatrix=|A_11|\\cdot|B_22-A_21A_11^-1B_12|,\\quad\\cdots(*)$$

$$\\beginvmatrix A_11 & A_12 \\\\ B_21 & B_22 \\\\ \\endvmatrix=|B_22|\\cdot|A_11-A_12B_22^-1B_21|.\\quad\\cdots(\\dagger)$$

将 $A+B$ 的第一分块行左乘 $-A_21A_11^-1$ 加到第二分块行上, 再将第二分块列右乘 $-B_22^-1B_21$ 加到第一分块列上, 可得

$$|A+B|=\\beginvmatrix A_11+B_11 & A_12+B_12 \\\\ A_21+B_21 & A_22+B_22 \\\\ \\endvmatrix=\\beginvmatrix A_11+B_11 & A_12+B_12 \\\\ B_21-A_21A_11^-1B_11 & B_22-A_21A_11^-1B_12 \\\\ \\endvmatrix=\\beginvmatrix A_11-A_12B_22^-1B_21 & A_12+B_12 \\\\ O & B_22-A_21A_11^-1B_12 \\\\ \\endvmatrix=|A_11-A_12B_22^-1B_21|\\cdot|B_22-A_21A_11^-1B_12|.\\quad\\cdots(\\sharp)$$

最后由 $(*)$ 式, $(\\dagger)$ 式和 $(\\sharp)$ 式即得本题结论.  $\\Box$

注  本题获得 7 分以上的同学是:

证法 1.1: 秦保睿、洪昕;

证法 1.2: 张东宁、刘胡德、黄昱凯、龚汉霖、李嘉俊、林鑫、姚明超;

证法 2: 张家溢、王树鹏、李燊旭、刘轩麟、宋哲烨、吴雨坤

证法 3 (相抵标准型化简): 祁振宁.

 

参考文献

[1]  高代教材. 谢启鸿, 姚慕生, 吴泉水. 高等代数学 (第四版). 复旦大学出版社, 2022.

[2]  高代白皮书. 谢启鸿, 姚慕生. 高等代数 (第四版), 大学数学学习方法指导丛书. 复旦大学出版社, 2022.