[概率论与数理统计]笔记：3.2 条件分布与随机变量的独立性
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了[概率论与数理统计]笔记：3.2 条件分布与随机变量的独立性相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
这篇笔记记录了离散型和连续型的条件分布的公式，以及独立性的判断公式。
3.2 条件分布与随机变量的独立性
条件分布
- 分布函数：\\(F(x)=P\\X\\le x\\\\)
- 条件分布函数：\\(F(x|A)=P\\X\\le x|A\\\\)
条件分布：事件\\(A\\)发生的条件下，\\(X\\)的分布函数就叫条件分布函数。( 事件\\(A\\)会对事件\\(\\X\\le x\\\\)发生的概率产生影响。)
离散型条件分布
假设有两个随机变量\\(X,Y\\)，在\\(Y=y_j\\)的条件下，要求\\(X\\)的分布，即\\(P\\X\\le x|Y=y_j\\\\)。
解题思路：
- 画出联合概率分布表，计算边缘概率，其中\\(P\\Y=y_j\\=\\sum\\limits_ip_ij\\)。
- \\(P\\X=x_i|Y=y_j\\=\\fracP\\X=x_i,Y=y_j\\P\\Y=y_j\\\\)
连续型条件分布
- 随机向量\\((X,Y)\\)
- 密度函数\\(f(x,y)\\)
- 边缘密度函数\\(f_X(x),f_Y(y)\\)
若\\(f_Y(y)>0\\)，在\\(Y=y\\)的条件下，条件分布函数
\\[F(x|y)=\\int_-\\infty^x\\fracf(u,y)f_Y(y)\\mathrmdu
\\]
而条件密度函数
\\[f(x|y)=\\fracf(x,y)f_Y(y)
\\]
同理，在\\(X=x\\)的条件下，
\\[F(y|x)=\\int_-\\infty^y\\fracf(x,v)f_X(x)\\mathrmdv
\\]
\\[f(y|x)=\\fracf(x,y)f_X(x)
\\]
这里简单的证明一下第一个公式：
\\[F(x|y)=P\\X\\le x|Y=y\\=\\fracP\\X\\le x,Y=y\\P\\Y=y\\
\\]
这里的分子分母均为0。
类似于可以将\\(x=5\\)表示为\\(\\lim\\limits_\\varepsilon\\to05\\le x\\le5+\\varepsilon\\)，
这里将上式表示为下式：
\\[\\beginalign*
原式
&= \\lim\\limits_\\varepsilon\\to0\\fracP\\X\\le x,y\\le Y\\le y+\\varepsilon\\P\\y\\le Y\\le y+\\varepsilon\\\\\\
&= \\lim\\limits_\\varepsilon\\to0\\frac\\int_-\\infty^x\\int_y^y+\\varepsilonf(u,v)\\mathrmdv\\mathrmdu\\int_y^y+\\varepsilonf_Y(v)\\mathrmdv \\\\
&= \\lim\\limits_\\varepsilon\\to0\\frac\\int_-\\infty^x\\frac1\\varepsilon\\int_y^y+\\varepsilonf(u,v)\\mathrmdv\\mathrmdu\\frac1\\varepsilon\\int_y^y+\\varepsilonf_Y(v)\\mathrmdv
\\endalign*
\\]
积分中值定理：存在\\(\\xi\\in[a,b]\\)使得\\(\\int_a^bf(x)\\mathrmdx=f(\\xi)(b-a)\\)
详细表述
以上是关于[概率论与数理统计]笔记：3.2 条件分布与随机变量的独立性的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
概率论与数理统计猴博士 笔记 p24-25 条件概率密度函数求两个随机变量形成的函数的分布
[概率论与数理统计]笔记：3.3 随机向量的函数的分布与数学期望