BZOJ2654 tree （wqs二分）

Posted 2022-04-05 ynhnxn

题目描述

给你一个无向带权连通图，每条边是黑色或白色。让你求一棵最小权的恰好有need条白色边的生成树。

题目保证有解。

 

一个最小生成树问题，但是我们要选need条白边，我们用g(i)表示选取i条白边的最优方案（生成树的权值最小），那么可以大致猜出g(i)是关于i的一个下凸函数，可以发现斜率k是有单调性的，我们二分这个斜率k，相当于给每条白边的权值加上一个k，统计数量use，如果use>=need，说明k小了，要增大，同理，use<need，要减小k。

那么问题来了，如果说当前白边加上mid后，白边条数use>need了，如果加上mid+1后，use<need了要怎么办？

题目中说到了：保证有解，所以出现上述情况时一定有黑边==白边的边权

所以我们只需要把一条黑边换成白边就好，即我们排序时如果黑边权值等于白边，则白边优先。

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 #define N 50001
 #define M 100001
 int n,m,k;
 struct node
     int u,v,w,c;
 e[M];
 int use,sum,fa[N];
 bool cmp(node a,node b)
     if(a.w!=b.w) return a.w<b.w;
     return a.c<b.c;//黑边白边权值一样，优先选白边 
 
 int find(int x)
     return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);
  
 void check(int x)
     for(int i=1;i<=m;i++)
         if(e[i].c==0) e[i].w+=x;//白边加权值 
     sort(e+1,e+m+1,cmp);
     for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
     int now=0,fu,fv,j=1;
     use=0,sum=0;
     while(now!=n-1)
         fu=find(e[j].u);fv=find(e[j].v);
         if(fu!=fv)
             now++;
             fa[fu]=fv;
             if(e[j].c==0) ++use;//统计使用的白边数量 
             sum+=e[j].w;
         
         ++j;
     
     for(int i=1;i<=m;i++)
         if(e[i].c==0) e[i].w-=x;//还原 
 
 
 int main()
 
     scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
     for(int i=1;i<=m;i++)
         scanf("%d%d%d%d",&e[i].u,&e[i].v,&e[i].w,&e[i].c);
         ++e[i].u;++e[i].v;//题目是编号从0开始，要+1 
     
     int l=-101,r=101,mid,ans;//值域[1,100]； 
     while(l<=r)
         mid=l+r>>1;check(mid);
         if(use>=k)
             ans=sum-k*mid;
             l=mid+1;
         
         else r=mid-1;
     
     cout<<ans;
     return 0;